Expresiones algebraicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS
Llamamos polinomio a toda expresión de la forma
an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
donde n  N0

y an , an-1 , ... , a1 , a0 son números reales, que denominamos coeficientes.

El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo.
Si an  0 , decimos que el polinomio tiene grado n y an es el coeficiente principal. Elcoeficiente
a0 recibe el nombre de término independiente.
El polinomio nulo carece de grado.

Ejemplo: 4 x5 + 3 x4 - 2 x3 -

1
x+1
2

es un polinomio

Coeficientes



Grado



5

Coeficiente principal



4

Término independiente



1

4 , 3 , -2 , 0 , -

1
,1
2

Es posible asociar a cada polinomio
an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
una única función
-1
nn
p: R  R definida por p(x) = an x + an-1 x + ... + a1 x + a0 , y recíprocamente, a cada
función de esta forma es posible asociar un polinomio. Llamamos a la función p(x), función
polinómica.
Bajo esta identificación hablamos indistintamente de polinomios o funciones polinómicas.
Operaciones con Polinomios
A continuación mostraremos como se pueden realizar las operaciones básicas de suma,resta,
multiplicación y división entre polinomios.
Nivelacion UdeMM 2013

Suma:
Calculamos la suma de los polinomios p(x) = 3 x2 + 2 x + 1 y q(x) = 5 x3 - 7 x + 8 .
Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios y escribir uno debajo del
otro. Si falta algún término intermedio en algún polinomio, lo completamos escribiendo dicho
término con coeficiente 0.
p(x) =0 x3 + 3 x2 + 2 x + 1

q(x) =

5 x3 + 0 x2 - 7 x

+ 8

5 x3 + 3 x2 - 5 x

+ 9

+

p(x) + q(x)

=

Resta:
Calculamos ahora la resta de los polinomios p(x) = x5 + 2 x4 - 7 x3 + 8 y q(x) = x5 + 5 x4 - 4 x2 + 5.
Como antes para operar es conveniente ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro.
p(x) =

x5

+ 2 x4 - 7 x3

q(x) =

x5

+ 5 x4

+8

–

p(x)– q(x)

- 4 x2

- 3 x 4 - 7 x3 + 4 x2

=

+5
+3

Observemos que obviamos los términos con coeficiente nulo, siempre supondremos que los
términos faltantes tienen coeficiente 0.
El resultado de la suma o la resta de dos polinomios puede ser el polinomio nulo o tener grado
menor o igual que el del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando.
grado (p  q)  máx (grado p ,grado q)

Producto:
Para calcular el producto de dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un
polinomio por cada uno de los términos del otro y sumamos. Para multiplicar los polinomios
p(x) = 7 x3 - 5 x + 2 y q(x) = 2 x2 + 5 x - 1 , una disposición práctica es la siguiente:
7 x3

-5x

+2

2 x2

+5x

-1

x
- 7 x3
35 x
14 x5

4

2

- 10 x3

- 25 x
+ 4 x2+5x -2
+ 10 x

14 x5 + 35 x4 - 17 x3 - 21 x2 + 15 x - 2

Nivelacion UdeMM 2013

Observemos que cuando se multiplican dos polinomios no nulos el resultado es un polinomio cuyo
grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.
grado (p . q) = grado p + grado q
División:
Recordemos que para números enteros podemos realizar el algoritmo de Euclides para la división,
así,si queremos dividir 7 por 4 obtenemos

Dividendo

7

4

divisor

Resto

3

1

cociente

Se verifica que 7 = 4 . 1 + 3 , y el resto es siempre menor que el divisor.
Es posible realizar la división de polinomios en forma análoga a ésta.
Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de la división entre a(x) = 8 x4 + 6 x3 - 4
8 x4 + 6 x 3 - 4
+

y b(x) = 2 x2 .

2 x2
4 x2 + 3 x- 8 x4
0 x4 + 6 x 3 - 4
+
- 6 x3
0 x3 - 4
cociente: q(x) = 4 x2 + 3 x
resto:
r(x) = - 4

Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de la división entre

a(x) = - 4 x3 + 3 x2 +6 x4 - 5

b(x) = - x + 2 x2 .
6 x4 - 4 x3 + 3 x2 + 0 x - 5
+

- 6 x4 + 3 x3
- x3

+

x3

2 x2 - x
1
5
3 x2 x +
2
4

+ 3 x2 + 0 x - 5
-

1 2
x
2
5 2
x +0x -5
2
Nivelacion UdeMM 2013...