extrapolacion de richardson
Páginas: 2 (308 palabras)
Publicado: 22 de junio de 2014
Extrapolación de Richardson
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuenciamás rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en elcálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.Presentación del principio
Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:
Esta aproximaciónestá lejos del valor real, por tanto en orden de hacer un análisis del error, expandimos en forma de serie de Taylor:
Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión generalizadallamada extrapolación de Richardson:
Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden . De tal forma que:
Donde:
es un estimador del error, usando la notación deLandau.
son constantes desconocidas. Tal que
Ahora bien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A como:
Multiplicando la última ecuación por
Sustrayendo (2) y (1),como se vio al inicio:
Despejando A:
De este modo, se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el término más grande en el error, .De igual manera se pueden remover más términosde error de modo que se obtengan mejores aproximaciones de A. Una relación de recurrencia general puede ser implementada en las aproximaciones al hacer:
siendo el orden del error
con:
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuenciamás rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en elcálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.Presentación del principio
Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:
Esta aproximaciónestá lejos del valor real, por tanto en orden de hacer un análisis del error, expandimos en forma de serie de Taylor:
Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión generalizadallamada extrapolación de Richardson:
Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden . De tal forma que:
Donde:
es un estimador del error, usando la notación deLandau.
son constantes desconocidas. Tal que
Ahora bien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A como:
Multiplicando la última ecuación por
Sustrayendo (2) y (1),como se vio al inicio:
Despejando A:
De este modo, se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el término más grande en el error, .De igual manera se pueden remover más términosde error de modo que se obtengan mejores aproximaciones de A. Una relación de recurrencia general puede ser implementada en las aproximaciones al hacer:
siendo el orden del error
con:
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