Extrapolacion de richardson

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MANIZALES

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Extrapolación de Richardson,Metodo de los trapecios y Regla de Simpson
P. C. Díaz - H. V. Castillo - M. A. Bolaños - J. D. Tamayo Métodos Numéricos Informe Clase 11, 3 de abril de 2011

Abstract- En este informe se presentara la implementación de los metodos extrapolación de Richardson y Metodo de Simpson. I. INTRODUCCIÓN

orden O(h),para disminuir, por lo tanto, el error. Puesto que se supone que esta formula es valida para cualquier h>0, podemos considerar el resultado anterior para un paso igual a h/2, entonces: o h 2 = k1 h h2 h3 + k2 + k3 + .... 2 4 8 h 2 +
n i=1

Por medio de la extrapolación realizar una secuencia convergente mas rápida a partir de otra secuenca convergente y asi poder mejorar los resultados de losmetodos numéricos y mejorar la aproximación al cálculo de la derivada de la función

M =N

ki

h 2

i

Ahora, se realiza la siguiente operación (4)-2*(1) para obtener la siguiente expresión: M= N h 2 + N h 2 − N (h) +k2 h2 − h2 +k3 2 h3 − h3 2

II.

O BJETIVOS

Comprender las bases conceptuales de la integración aproximada. Resolver problemas de integración numérica y apreciar suaplicación en la solución de problemas de ingeniería,utilizando el método de Simpson y Richardson Comprender los rasgos generales de la integración aproximada utilizando el método de Simpson y de richardson. III. III-A. MARCO TEÓRICO

Para facilitar la presentación, definamos N1 ( h) = N ( h) y además: h h N2 (h) = N1 + N1 − N1 (h) 2 2 Entonces se obtiene que la formula para la aproximación O (h 2) para M queda definida como: k2 2 k3 3 h − h − ... 2 3 Si ahora reemplazamos h por h/2 tendremos que: M = N2 (h) − M = N2 h 2 − k2 2 k3 3 h − h − ... 2 3

Extrapolacion de Richardson

Esta técnica se emplea para generar resultados con alta precisión usando formulas de bajo orden, es decir, obtiene una buena aproximación con mínimos costos de calculo y errores de redondeo. La extrapolación esvalida cuando se sabe que la técnica de aproximación tiene un error que es predecible, dependiente de un parámetro, comúnmente el tamaño del paso h. por ejemplo, supongamos que N(h) es una formula que aproxima un valor desconocido M, y además, es sabido que N(h) tiene asociado un error O(h) de truncamiento que es de la forma: o(h) = k1 h + k2 h2 + k3 h3 + .... M = N (h) +
n i=1

Esto, puedecombinarse con la ecuación 7 para eliminar el término 2 h . Específicamente, haciendo la siguiente operación: 4*(8) (7), obtenemos que: 3M = 4N2 h 2 − N2 (h) − 3k 3 4 − h3 − h3 2 + ...

La cual se puede simplificar a la formula de 3 O(h ) para aproximar M: M = N2 Definiendo: N3 (h) = N2 h 2 + N2
h 2

ki hi

Para algún conjunto de valores de Ki Aquí consideramos que h puede seleccionarsearbitrariamente y que mientras h disminuye, es posible encontrar mejores aproximaciones para M. El objetivo de la extrapolación es mejorar la formula de
Paulo Cesar Díaz: pacdiazso@unal.edu.co, Código 808525 - Humberto Vidal Castillo Castillo:hvcastilloc@unal.edu.co,Código 808516 - Mario Andres Bolaños:mabolanosn@unal.edu.co,Código 808505 - Juan David Tamayo:jdtamayo@unal.edu.co,Código 807058 UniversidadNacional de Colombia - Sede Manizales.

h 2

+

N2

h 2

− N2 (h) k3 + h3 + ... 3 8 − N2 (h) 3

Tenemos la formula para O ( h3 ) : M = N3 (h) + k3 3 h + ... 8

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Luego, este proceso lo podemos continuar para una aproximación O ( h 4 ) , y ese simplificarlo y llegar a O ( h5 ) , y asi sucesivamente. En general si M puedeescribirse de la forma: m−1 M = N (h) + kj hj + o(hm )
j=1

Entonces para cada j=2,3,...,m tenemos que existe una aproximación O ( h j ) de la forma: Nj (h) = Nj−1 h 2 + Nj−1
h 2

− Nj−1 (h) 2j−1

La relación que se establece entre el tamaño de paso y el cálculo de error es directamente proporcional, mientras que el tamaño de paso tienda a 0 el error de aproximación cada vez será menor....