Física matematica

Lecciones
de
F´ısica Matem´
atica

Alonso Sep´
ulveda S.
Instituto de F´ısica
Universidad de Antioquia
Medell´ın, Agosto de 2004

Colecci´
on Ciencia y Tecnolog´ıa
c Alonso Sep´
ulveda
c Editorial Universidad de Antioquia
ISBN: xxxxxxxxxx(volumen)
ISBN: xxxxxxxxxx(obra completa)
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no de cubierta: xxxxxxxxxx
Dibujos interiores: Giovanny Atehort´
ua
Dise˜
no interno y diagramaci´
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on y terminaci´
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A mis estudiantes

Prefacio
Las leyes b´
asicas de la f´ısica son invariantes, en su forma matem´
atica, bajo un
conjunto bastante general de transformaciones, dependientes de las caracter´ısticas
del espacio y el tiempo en que ocurren losfen´
omenos f´ısicos. En el marco de la
f´ısica newtoniana estas leyes tienen la misma forma matem´
atica en todos los sistemas coordenados que difieren uno respecto al otro en la Posici´
on de su origen
coordenado. Esta exigencia proviene del postulado de homogeneidad del espacio
euclidiano y, conduce a la conservaci´
on del momento lineal. La forma matem´
atica
de las leyes se preserva tambi´en enlos sistemas coordenados que s´
olo difieren por
su Orientaci´
on, y esta propiedad indica la isotrop´ıa, es decir la equivalencia de las
diferentes direcciones del espacio euclidiano, que implica la conservaci´
on del momento angular. Tambi´en las leyes f´ısicas son invariantes respecto a la escogencia del
cero de la coordenada temporal, vale decir, son las mismas en todos los instantes,
lo quecorresponde a la homogeneidad del tiempo en la f´ısica cl´
asica: todos los instantes son cualitativamente id´enticos. Implica la conservaci´
on de la energ´ıa. Es
cierto adem´
as que las leyes preservan su forma en los m´
ultiples sistemas de referencia en movimiento relativo uniforme, lo que equivale a la aceptaci´
on del principio
de inercia y a la imposibilidad de encontrar el reposo absolutoen el espacio; este es
el principio de relatividad especial si adem´
as se exige la existencia de una velocidad
invariante, la de la luz.
Estas amplias invarianzas de las leyes f´ısicas (hay otras, como simetr´ıas de reflexi´
on, de inversi´
on, o a´
un m´
as abstractas como las de cambio de signo de las cargas
el´ectricas) exigen una forma de escritura matem´
atica que exprese su invarianza anteestos conjuntos de transformaciones. Ello se logra en el a
´mbito de la f´ısica newtoniana mediante la implementaci´
on del an´
alisis vectorial 3-dimensional, el que hace
manifiestos estos diversos principios de relatividad posicional, de orientaci´
on y de
movimiento.
Por ello comenzaremos este curso proponiendo las bases del an´
alisis vectorial 3-dimensional, independientemente de laescogencia espec´ıfica de un sistema de
coordenadas, lo que garantiza la id´entica escritura de las leyes en todos ellos y

i

ii

PREFACIO

permite expresar matem´
aticamente las invarianzas del mundo. Consecuentemente,
en los desarrollos del cap´ıtulo 1 propondremos las formas generales, en coordenadas curvil´ıneas ortogonales, de las operaciones diferenciales b´
asicas: gradiente,
divergencia,rotacional y laplaciano, junto con las nociones elementales sobre transformaciones continuas y discontinuas. Lo finalizamos con un estudio de las funciones
delta de Dirac y con la construcci´
on de algunos sistemas coordenados.
Puesto que las leyes f´ısicas se expresan usualmente como ecuaciones diferenciales
(ED), exploraremos en el cap´ıtulo 2 las condiciones iniciales y/o de frontera bajo
las cuales...