factor comun e identidades notables

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 1

Página 95
PRACTICA
Factor común e identidades notables

1 Saca factor común:
a) 9x 2 + 6x – 3

b) 2x 3 – 6x 2 + 4x

c) 10x 3 – 5x 2

d) x 4 – x 3 + x 2 – x

a) 9x 2 + 6x – 3 = 3(3x 2 + 2x – 1)
b) 2x 3 – 6x 2 + 4x = 2x(x 2 – 3x + 2)
c) 10x 3 – 5x 2 = 5x 2 (2x – 1)
d) x 4 – x 3 + x 2 – x = x(x 3 – x 2 + x – 1)

2 Expresalos polinomios siguientes como cuadrado de un binomio:
a) x 2 + 12x + 36 = (x + I ) 2
b) 4x 2 – 20x + 25 = ( I – 5) 2
c) 49 + 14x + x 2
d) x 2 – x + 1
4
a) x 2 + 12x + 36 = (x + 6) 2
c) 49 + 14x + x 2 = (7 + x) 2

b) 4x 2 – 20x + 25 = (2x – 5) 2

( )

d) x 2 – x + 1 = x – 1
4
2

3 Expresa como suma por diferencia los siguientes polinomios:
a) x 2 – 16 = (x + I ) (x – I )
b) x 2– 1
c) 9 – x 2
d) 4x 2 – 1
e) 4x 2 – 9
a) x 2 – 16 = (x + 4)(x – 4)
b) x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1)
c) 9 – x 2 = (3 + x)(3 – x)
d) 4x 2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)
e) 4x 2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3)
Unidad 6. Factorización de polinomios

2

6
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 2

4 Expresa como un cuadrado o como producto de dos binomios cada uno de
los siguientespolinomios:
a) 25x 2 + 40x + 16
b) 64x 2 – 160x + 100
c) 4x 2 – 25
a) 25x 2 + 40x + 16 = (5x) 2 + 2 · 5x · 4 + 4 2 = (5x + 4) 2
b) 64x 2 – 160x + 100 = (8x) 2 – 2 · 8x · 10 + 10 2 = (8x – 10) 2
c) 4x 2 – 25 = (2x) 2 – 5 2 = (2x + 5)(2x – 5)

5 Saca factor común y utiliza los productos notables para descomponer en factores los siguientes polinomios:
a) x 3 – 6x 2 + 9x

b) x 3 – x

c) 4x 4 – 81x 2

d) x 3 + 2x 2 + x

e) 3x 3 – 27x

f) 3x 2 + 30x + 75

a) x 3 – 6x 2 + 9x = x(x 2 – 6x + 9) = x(x – 3) 2
b) x 3 – x = x(x 2 – 1) = x(x – 1)(x + 1)
c) 4x 4 – 81x 2 = x 2 (4x 2 – 81) = x 2 (2x + 9)(2x – 9)
d) x 3 + 2x 2 + x = x(x 2 + 2x + 1) = x(x + 1) 2
e) 3x 3 – 27x = 3x(x 2 – 9) = 3x(x + 3)(x – 3)
f ) 3x 2 + 30x + 75 = 3(x 2 + 10x + 25) = 3(x + 5) 2
Divisibilidad por
de unpolinomio

x – a.

Te o r e m a d e l r e s t o y r a í c e s

6 a) Explica, sin hacer la división, por qué el polinomio P (x) = x 3 + x 2 + x + 1
no puede ser divisible por x – 2 ni por x + 3.
b) Indica qué expresiones del tipo x – a podríamos considerar como posibles divisores de P (x).
c) Comprueba, haciendo la división con la regla de Ruffini, cuáles de las expresiones consideradas en elapartado b) son divisores de P (x).
a) En las expresiones x – 2 y x + 3, a = 2 y a = –3, respectivamente, y no
son divisores del término independiente de P(x), 1.
b) Los divisores de 1 son 1, –1. Podríamos considerar, como posibles divisores
de P(x), las expresiones x – 1 y x + 1.
Unidad 6. Factorización de polinomios

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 3

c) P(x) =x 3 + x 2 + x + 1
1



1
1

1
1
2

1
2
3

1
3
4

–1

1 no es ráiz de P(x).



1
1

1
–1
0

1
0
1

1
–1
0

–1 sí es raíz de P(x).

La expresión x + 1 es divisor de P(x), mientras que x – 1 no lo es.

7 Utiliza la regla de Ruffini para calcular P (–2), P (3) y P (5), en los casos siguientes:
a) P (x) = x 4 – 3x 3 – x 2 + 7x – 2

b) P (x) = 2x 3 – 7x2 – 16x + 5

c) P (x) = 2x 4 – 4x 3 – 3x 2 + 9x
a) P(x) = x 4 – 3x 3 – x 2 + 7x – 2
–2



1
1

–3
–2
–5

–1
7
10 –18
9 –11

–2
22
20

P(–2) = 20
5



1
1

3



1



2



2

1

–3
3
0

–1
0
–1

7
–3
4

–2
12
10

P(3) = 10
–3
5
2

–1
10
9

7 –2
45 260
52 258

P(5) = 258
b) P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 16x + 5
–2



2

2

–7 –16
5
–4 22 –12
2 –11
6 –7

3

P(–2) = –7
5

2

2

–7 –16
5
6 –3 –57
–1 –19 –52

P(3) = –52
–7 –16
10 15
3 –1

5
–5
0

P(5) = 0
c) P(x) = 2x 4 – 4x 3 – 3x 2 + 9x
–2



2
2

–4
–4
–8

–3
9
16 –26
13 –17

P(–2) = 34
Unidad 6. Factorización de polinomios

0
34
34

3

2

P(3) = 54

–4
6
2

–3
6
3

9
9
18

0
54...