FACTOR COMÚN

FACTOR COMÚN
Factor común.
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos igualesfuncionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factoresy veamos si podemos descubrir un patrón.

 
Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: . Cuando factorizamos.
 
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, . Aquí tenemos como hacerlo:
 
Máximo factor común(MFC).- El término, es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
 
De este modo para factorizar, podríamos escribir  
Pero no está factorizado por completo por que  puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponentede x en todos los términos es . De esta manera la factorización completa es . Donde  es el MFC.

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.




EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)


El factor común esx2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.
EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras)

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)


El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.





EJEMPLO 4: (Con fracciones)
4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)


El factor común es 2/3 x: El MCDdel numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia.


EJEMPLO 5: (Con varias letras diferentes)

9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb - 3ab2 + xz)


El factor común es xa. Las 2 letras que están en todos los términos, con la menor potencia con la que aparecen.



DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTO
Expresiones como a2 - b2 , 42 - p2q2 , 1/9y2 - m2n2 , se 
Denominan diferencias decuadrados perfectos, ya que
Los términos que lo forman tienen raíz cuadrada exacta.
 
La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el 
Producto de dos binomios, uno como suma y otro como
Resta. Los términos de estos binomios son las raíces
Cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia
Planteada al principio.
 
Ejemplo: Factorizar  x2 - y2 
 
Raíz cuadrada de  x2  = x
Raíz cuadradade  y2  = y
 
x2 - y2  = (x + y)(x - y)
 

EJERCICIOS RESUELTOS:
 
Factorizar las siguientes expresiones
 
1). 4a2b2 - 9x2y4        
                        
Raíz cuadrada 4a2b2 = 2ab
Raíz cuadrada 9x2y4 = 3xy2
 
Entonces
 
4a2b2 - 9x2y4 = (2ab + 3xy2)(2ab - 3xy2)
 
2). 25m2 - 16n2
     4
 
       Raíz cuadrada de  25m2 = 5m
                                   4         2 
       Raíz cuadrada de16n2 = 4n
 
       Entonces:
 
       25m2 - 16n2 = (5m + 4n)(5m + 4n) 
        4                   2             2


TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Surge de elevar al cuadrado un binomio: Resulta un trinomio con dos términos "cuadráticos" y un término "rectangular", enlazados con una visión geométrica de las áreas de un cuadrado y de rectángulo. 

Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es...