Factor de efectividad de cilindros

Ervin Van der Veerden

Factor de Efectividad Interno en cilindros

El factor de efectividad interno es un indicio de la importancia relativa de la difusión y las limitaciones de la reacción, de esta manera se define como:

=(Velocidad Reacción total real)/(Velocidad Reacción si fuese a condiciones de la superficie externa C_As,T_s )

Que también se puede definir en términos del flujocomo:

=(Flujo total reactivo que reaccionó)/(Flujo total reactivo que reaccionaría a C_As,T_s )

Para el cilindro hueco de la figura 1 se tendrá que realizar un balance para el componente que se difunde y reacciona, para ello se restringe el problema al tomar en consideración las siguientes suposiciones:

Flujo en estado estacionario
Reacción elemental de primer orden irreversible segúnecuación (1)
Difusión unidimensional en sentido radial
Flujo fluido en dirección axial

Figura 1. Cilindro hueco y su elemento de volumen

La reacción que se da es de la forma:

A → B (1)

Para la cual la velocidad de reacción está dada por la expresión:

〖-R〗_A=KaC_A (2)

Donde a=(Area Superficial Catalizador)/(Vol partícula(Solido+Poros))


Figura 2. Vista lateral del cilindro hueco.

Al efectuar el balance sobre el elemento de volumen dado para el componente A, se tiene que:
(N_A ) ⃗=-D_(〖ef〗_A )*∇C_A+C_A/C((N_A ) ⃗+ (N_B ) ⃗) (3)

Ya que la reacción es irreversible y de primer orden, los flux de A y B serán iguales pero con sentido opuesto, por lo cual:

(N_A ) ⃗=- (N_B ) ⃗ (4)

Con lo cual resultaque:

(N_A ) ⃗=-D_(〖ef〗_A )*∇C_A= -D_(〖ef〗_A )*(dC_A)/dr (5)

Ahora si se aplica la ecuación de continuidad para el componente A en coordenadas cilíndricas se tendrá que:

(∂C_A)/∂t+1/r (∂〖(rN〗_Ar))/∂r+ 1/r (∂N_Aθ)/∂θ+ (∂N_Az)/∂Z= R_A (6)

Teniendo en cuenta las suposiciones hechas y reemplazando en (2) se tiene que:

(∂N_Ar)/∂r+ 1/r N_Ar= -KaC_Ar (7)

Si se reemplaza(5) en (7) la ecuación resultante es:

(∂(-D_(〖ef〗_A )*(dC_A)/dr))/∂r- 1/r D_(〖ef〗_A ) (dC_A)/dr= -KaC_Ar
Que reorganizada es:

(∂^2 C_A)/(∂r^2 )+ 1/r (∂C_A)/∂r- Ka/D_(〖ef〗_A ) C_A=0 (8)

La solución de la ecuación (8) permite determinar el perfil de concentración en el sentido radial sobre el cilindro, de esta se sabe previamente que tiene la forma de una función de Besselmodificada cuya solución es de la forma:

C_A (r)= ∑_(n=0)^α▒〖1/(n!)^2 (((ϕr))/2)^2n=I_0 (ϕr)〗 (9)

Donde
ϕ^2=Ka/D_(〖ef〗_A )∶Modulo Thiele Reacción 1^er Orden

Para que CA pueda estar completamente definida es necesario encontrar una solución que sea linealmente independiente, de forma que se obtenga:

C_A=〖A*I〗_0 (ϕr)+ B*K_0 (ϕr) (10)

Para encontrar los valores de A y B se emplean lascondiciones de frontera del problema en particular, para el cual se tiene que:

r=R_0 → C_A=C_AS y r=R_1 → C_A=C_AS

Donde

R0: Radio interno del cilindro
R1: Radio externo del cilindro
CAS: Concentración en la superficie de la partícula

Si se analiza el caso del cilindro macizo, las ecuaciones de balance y conservación (2) a (10) para la misma reacción, representantambién el comportamiento de dicha geometría, solo que en este caso tal como se observa en la figura 3, serán las condiciones de frontera las que se alteren, teniendo que:

r=R → C_A=C_AS y r=0 → 〖∂C〗_A/∂r=0

Donde
R: Radio del cilindro
La segunda condición se da por simetría del cilindro, luego en el centro lo que se espera es un cambio en la pendiente, por lo que ahí se hará cero.Figura 3. Vista lateral del cilindro macizo.

En cualquiera de los dos casos, el complemento de la solución, K0(r) tiene la forma:

K_0 (ϕr)= I_0 (ϕr)∫▒dr/(r*∑_(n=0)^α▒〖1/(n!)^2 (((ϕr))/2)^2n 〗)

Por ende la solución será de la forma

C_A=〖A*I〗_0 (ϕr)+ B*I_0 (ϕr)*∫▒dr/(r*〖I_0〗^2 (ϕr) )

Para el caso del cilindro macizo con las condiciones de frontera, la solución de CA viene...