Factor Integrante

FACTOR INTEGRANTE

Una Ecuación Diferencial de primer orden se dice que no es exacta si sus derivadas parciales no cumplen con el criterio para ser considerada una diferencial exacta. Es decir,que sus diferenciales parciales son diferentes:




Si al multiplicar una ecuación diferencial por una expresión, nos arroja como resultado una nueva una ecuación la cual a su vez es unadiferencial exacta, la expresión se denomina Factor Integrante.
Se pueden hallar factores integrantes de muchas ecuaciones diferenciales reconociendo ciertos diferenciales de expresiones conocidas.

Dese desprende que es un factor integrante de , pues



Es una ecuación diferencial exacta, cuya solución es



Análogamente, es un factor integrante de



Y su solución es


Laexpresión es una ecuación diferencial exacta*, como se puede probar aplicando la condición o bien escribiendo


(1)

Como los números a, b y c pueden tener cualquier valor, se deducede (1) que se obtiene una diferencial exacta dividiendo , o cualquier otra expresión que tenga la forma .
Para integrar la ecuación

(2)

Deduzcamos de ellaEn realidad, se han multiplicado ambos miembros de (2) por y se ha integrado la ecuación diferencial exacta resultante.

Obsérvese que , osea

(3)

Muestra que sugierecomo un factor integrante.
Por ejemplo





Es importante resaltar que estas formas diferenciales simples, que sugieren expresiones que desempeñan un destacado cometido, indican situaciones.En cada línea de la tabla 1 se anota, para facilitar la referencia, una expresión de la forma es un factor integrante correspondiente y una integral de la diferencia exacta.

Tabla 1.I




I(a)








I(b)

1

II

1


La presencia en una ecuación diferencial de una expresión de las indicadas en la primera columna, sugiere la sustitución v cuyo valor es el...