Factorial

Factorial
El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o Todas las definiciones anteriores incorporan la premisa de
n factorial se define en principio como el producto de que
todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los
números naturales) hasta n. Por ejemplo,
0! = 1
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.

1.1 Cero factorial

La operación de factorial aparece en muchas áreas de lasmatemáticas, particularmente en combinatoria y análisis
matemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha
sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los
estudiosos hindúes. La notación actual n! fue usada por
primera vez por Christian Kramp en 1803.

La definiciónindicada de factorial es válida para números
positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial
es posible definirla para cualquier número real excepto
para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

La definición de la función factorial también se puede Una extensióncomún, sin embargo, es la definición de
extender a números no naturales manteniendo sus pro- factorial de cero. De acuerdo con la convención matemápiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas tica de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como:
avanzadas, particularmente del análisis matemático.

1

0! = 1

Definición

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para
La funciónfactorial es formalmente definida mediante el justificar la elección, como sigue:
producto
• Para cada número entero positivo n mayor que 1,
es posible determinar el valor del factorial anterior
mediante el uso de la siguiente identidad:
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n − 1) × n
La multiplicación anterior se puede simbolizar también
n!
(n − 1)! =
utilizando el operador productorio:
n
válida para todonúmero mayor o igual que 1.
n! =

n
∏

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque
k

k=1

5!
120
=
= 24
5
5

También es posible definirlo mediante la relación de recurrencia

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que
{
n! =

1
(n − 1)! × n

si,n = 0
si,n > 0

4!
24
=
=6
4
4

En esta segunda definición el dominio de la función es el
El mismo proceso justifica el valor de 2! =2 y 1!=1 ya
conjunto de los enteros no negativos ℤ≥₀ y el codominio
que:
es el conjunto de los enteros positivos ℤ₊.[1] En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus
elementos se llama proceso recurrente y la igualdad n! =
3!
6
2!
2
2! =
= = 2,
1! =
= =1
(n - 1)!n se nombra ecuación recurrente.[2]
3
3
2
2
1

2

3

PRODUCTOS SIMILARES

Si aplicamos la misma regla para elcaso extremo en que El factorial de n es generalizado para cualquier número
n!=1 tendríamos que 0! corresponde a:
real n por la función gamma de manera que

0! =

∫

1!
1
= =1
1
1

Γ(n) = (n − 1)! =

∞

tn−1 e−t dt

0

Aunque el argumento puede resultar convincente, es im- sólo para n > 0. Se puede generalizar aún más, para toportante tener en cuenta que no es más que un argumento do número complejoz que no sea igual a un entero no
informal y que la razón real por la cual se toma la con- positivo, mediante la siguiente definición:
vención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas
de las matemáticas.
n! nz
Γ(z) = (z − 1)! = lim
n→∞ z (z + 1) · · · (z + n)

2

Aplicaciones

3 Productos similares

Los factoriales se usan mucho en la ramade la
matemática llamada combinatoria, a través del binomio 3.1 Primorial
de Newton, que da los coeficientes de la forma desarroEl primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de
llada de (a + b)n :
forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto
de los números primos menores o iguales que n.
( )
( )
( )
(
)
( )
n ( )
n n
n n−1
n n−2 2
n
n n ∑ n n−k k
(a+b)n =
a +
a
b+
a
b +· · ·+...