Factorizacio

nFactorización de polinomios

Matemáticas

Con este curso trataremos de…
• Escribir polinomios en su forma factorizada. • Utilizar su forma factorizada para resolver problemas.

Presentación general
Escribirlo en forma factorizada quiere decir escribirlo como producto de dos ó más polinomios, pero no como cualquier producto. La forma factorizada es el producto de polinomios primos. Cuandofactorizamos números naturales los escribíamos como producto de sus factores primos. Con los polinomios haremos lo mismo pero los “factores primos” son también polinomios. Por ejemplo, la forma factorizada de 242 = 2 x 11 x 11 ó, lo que sería lo mismo, 242 = 2 x 112. La expresión general de la forma factorizada de cualquier polinomio se escribe P ( x ) = a • ( x - x1 ) . ( x - x2 ) ... ( x - xn.).

242 = 2 x 11 x 11 242 = 2 x 112 P ( x ) = a • ( x - x 1 ) • ( x - x2 ) ... ( x - xn- )
Pero doscientos cuarenta y dos no es un polinomio. Tienes razón pero ahora vamos a ver la analogía con los polinomios. Supongamos que tenemos el polinomio P( x ) = x4 – x3 Para factorizarlo solamente debemos extraer factor común. El factor común a ambos términos es x al cubo.

P ( x ) = x4 – x3
¿Cómome doy cuenta que el factor común es x al cubo? Porque es la potencia menor a la que está elevada la x en todos los términos, en este caso x a la cuarta lo puedo escribir como x al cubo por x, entonces el factor que se repite en todos los términos es x al cubo.
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Factorización de polinomios

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Otro ejemplo:

A ( x ) = 2x4 + 2x3 – 12x2
Hay que sacar factor común.

P ( x ) = x4 – x3 P ( x ) = x3 • x – x3 A ( x ) = 2x4 + 2x3 – 12x2
En este polinomio se puede sacar como factor común. Entonces quedaría A(x) = x2 • ( 2x2 + 2x - 12 ) Pero con sacar factor común este polinomio no está factorizado,porque el polinomio que queda dentro del paréntesis no es un polinomio primo. Como es un polinomio de grado dos, hay que hallar su forma factorizada usando la fórmula resolvente y queda A(X) = 2 • x2 • ( x - 2 ) • ( x + 3 ) Siempre que escribimos un polinomio en forma factorizada aparecen sus raíces, porque para escribirlo según su producto en polinomios primos debemos conocer los ceros del polinomio.Factorizar el polinomio P(x) = 3x4 - 4x2 + 5 Para conocer una de las raíces vamos a utilizar tres recursos importantes, el Teorema del resto, la Regla de Ruffini y el Lema de Gauss. • Comenzamos con el teorema del resto: el resto de dividir un polinomio p de x por un polinomio de la forma x menos a es x de a, o sea el resultado de especializar el polinomio en a. Por ejemplo especialicemos elpolinomio x de x igual a tres x a la cuarta menos cuatro x al cuadrado más cinco, en uno. Como la especialización de P(x) en 1 da como resultado 4, podemos asegurar que si dividimos P(x) entre (x-1), el resto de la división es 4.

Teorema del resto El resto de dividir P(x) por (x – a) es P(a) Ejemplo: P(x) = 3x4- 4x2+5 P(1) = 3•14- 4•12+5 P(1) = 3- 4+5 P(1) = 4 O sea: El resto de la división P(x) :(x -1) es 4

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• Analizaremos primero el Lema de Gauss. Gauss fue un matemático alemán que descubrió que si un polinomio tiene raíces racionales, éstas se pueden encontrarformando los números racionales de la siguiente manera: p Si llamamos q (pe dividido cu) a las posibles raíces racionales del polinomio, el numerador p puede ser cualquier divisor del término independiente del polinomio, y el denominador cu cualquier divisor del coeficiente principal Por ejemplo, dado el polinomio P(x) = x3 - 2x2 - x + 2, el término independiente es dos, es decir que p puede ser...