factorizacion

Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término esun número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

El coeficiente a en los términos de xbyc - xcybes conocido como el coeficiente binomial


El coeficiente de en el desarrollo de es
donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos apartir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Ejemplo
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:Binomio
Para otros usos de este término, véase binomial (desambiguación).
En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios.
Ejemplos

puede llamarse "binomio de razones trigonométricas".

Operaciones sobre binomios
Factor común


Representacióngráfica de la regla de factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la adición respecto de la multiplicación:

o realizando la operación:

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenersecomo la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).
Ejemplo:


Suma por diferencia
El binomio puede factorizarse como el producto de dos binomios:
.
Demostración:

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: .
Producto de dos binomios lineales
El producto de un par de binomios lineales y es:
.
Potencia de un binomio
Un binomio elevadoa la n-ésima potencia, se escribe :, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto:
Cuadrado de un binomio


Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado
Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:
.
La operación se efectúa del siguientemodo:

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.
Un trinomio de la forma , se conoce como trinomio cuadrado perfecto;
Cuando el segundo término es negativo:


Ejemplo:

Aplicación en el cálculo diferencial
Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática , se desarrolla el binomio . Elcoeficiente del término en que es es la derivada de . Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de , el término lineal es .
Igualmente, para se desarrolla . En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de es , que es la derivada de .
Véase también




Trinomio
En álgebra, un trinomio es la suma indicada de tres monomios, es decir, un polinomio con tres términosque no puede simplificarse más.1 2
Índice
Ejemplos de trinomios
1. con , , variables;
2. con , , variables;
3. con variable, las constantes son enteros positivos y , , constantes arbitrarias.
Trinomio cuadrado perfecto

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