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Ingeniería de Control I

Álgebra de bloques, flujo de señales y sensibilidad Guillermo Sandoval Benítez
Capítulo 4

Capítulo 4. Álgebra de Bloques, flujo de señales y
Sensibilidad.
4.1 Álgebra de bloques.
Un diagrama de bloques es una representación de un sistema en donde se muestran
gráficamente las variables que lo definen y la interrelación que existe entre ellas. La
modelación oecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico de las variables
de interés, queda plasmada en un diagrama que proporciona una ayuda más tangible de lo
que la expresión abstracta matemática nos proporciona. En este tipo de esquema se establecen
dos operaciones fundamentales para la construcción de cualquier diagrama complejo: suma
y multiplicación. Para representar la operación demultiplicación considérese la función de
transferencia

C ( s)
= G(s) , en donde C(s) = G(s)R(s) . Por lo tanto la señal de salida C(s) es
R( s)

el producto de multiplicar a la señal excitadora por una función G(s) de tal forma que su
diagrama correspondiente quedará representado por:
R(s)

G(s)

C(s)

La operación de suma se puede representar por un simple punto de suma en donde laseñal x(s) = R(s)-C(s) tendrá la representación:
R(s)





x

x(s)

C(s)

4.1.1 Metodología para construir diagramas de bloques.
La construcción de cualquier diagrama de bloques requiere del conocimiento previo del
modelo matemático del sistema en cuestión. Generalmente ecuaciones diferenciales estarán
describiendo el comportamiento de cualquier sistema; por lo tanto, términosintegradores y
derivativos además de los puntos de suma y multiplicación, serán más que suficientes para
construir cualquier configuración.
Ejemplo. Supóngase que se desea construir el diagrama de bloques para el sistema resorteamortiguador revisado anteriormente. La ecuación diferencial correspondiente es:


x1

kx1  kx 2   x 2  0
es el desplazamiento de entrada; x2 es eldesplazamiento de salida


Comencemos por recordar que la relación que existe entre x 2 y x2 se da a través de una
integral de la forma como se muestra en el siguiente diagrama:
x1



x2

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Capítulo 4




Y a su vez x 2 es el resultado de las siguientes operaciones: x 2 =

kk

x2, esto es,


tenemos dos operaciones de multiplicación y una de suma. Para la multiplicación de x 1 con
k
tenemos:

k

x1
Y para

k



x1 -



x2 tenemos:
k

x2


Ambas salidas terminarán en un punto de suma con sus signos correspondientes:
x1

k









x2

k

x2





Integrando a esta último diagrama la representaciónexistente entre x 2 y x2 tenemos:
x1

k











x2

k



x2
x2

Obsérvese que en el diagrama de bloques deben de quedar identificados con toda claridad la
señal de entrada y la señal de salida. Si se desea obtener el equivalente en Laplace, el paso
será directo al intercambiar la integral por 1/s, dejando fuera la expresión en tiempo e
identificándolas en el dominio deLaplace.
x1(s)

k







1
s
k


x2(s)

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Capítulo 4

Ejemplo. Considere el sistema de nivel mostrado en la siguiente figura. Determine el
modelo matemático, su función de transferencia, su diagrama a bloques en el dominio del
tiempo y su circuito electrónicocon amplificadores operacionales.
qi(t)

h(t)

qo(t)

R

A

Modelo:
(1) 𝑞𝑖 (𝑡) − 𝑞𝑜 (𝑡) = 𝐴ℎ̇(𝑡)
ℎ(𝑡)
(2) 𝑞𝑜 (𝑡) = 𝑅
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene: 𝑞𝑖 (𝑡) −

ℎ(𝑡)
𝑅

= 𝐴ℎ̇(𝑡) Modelo matemático

Aplicando la transformada de Laplace al modelo:
𝑞𝑖 (𝑠) −

ℎ(𝑠)
= 𝐴𝑠ℎ(𝑠)
𝑅

Reacomodando los términos a esta última expresión obtenemos la función de transferencia:
ℎ(𝑠)...