fddddddd

u

Demostraciones ǫ − δ.
Comencemos haciendo algunas observaciones sobre el valor absoluto.

Valor Absoluto. Primero recordar que si x es un n´mero real, el valor absoluto de x es
u
la distancia desde x a 0 y es escrita como |x|. Dicho de otra forma, podemos definir

 x si x > 0,
0 si x = 0,
|x| =

−x si x < 0.
Por tanto, si k es cualquier n´mero real, tenemos
u

 x − k si x> k,
0
si x = k,
|x − k| =

k − x si x < k,

tal que es natural (y util) pensar en |x − k| como la distancia de x a k. Dos equivalencias
´
importantes que involucra el valor absoluto son
|x − k| < δ ⇐⇒ −δ < x − k < δ ⇐⇒ k − δ < x < k + δ,
donde el s´
ımbolo ⇐⇒ significa “si y s´lo si.” En palabras, estas equivalencias dicen que x
o
es menor que δ unidades de k si y s´lo si ladiferencia x − k est´ entre −δ y δ si y s´lo si x
o
a
o
est´ en el intervalo (k − δ, k + δ). ¡Haz el dibujo!
a

u

La Definici´n.
o

Definici´n (informal). Si f (x) es una funci´n definida para todos los valores de x cerca
o
o
de x = k, excepto tal vez en x = k, y si ℓ es un n´mero real tal que los valores de f (x) se
u
acercan y m´s a ℓ como los valores de x son tomados m´s cerca y m´scerca de k, entonces
a
a
a
decimos que ℓ es el l´
ımite de f (x) cuando x se aproxima a k y escribimos
l´ f (x) = ℓ.
ım

x→k

Para transformar esta idea intuitiva hacia una definici´n precisa, necesitamos decir exaco
tamente qu´ decimos por “f (x) se acerca y m´s a ℓ como los valores de x son tomados m´s
e
a
a
cerca y m´s cerca de k.” La idea principal es notar que si dos cantidades seest´n “acercando
a
a
y m´s,” entonces la distancia entre ellas se convierte “m´s peque˜a y m´s peque˜a.” Esto es,
a
a
n
a
n
la distancia es eventualmente m´s peque˜a que cualquier n´mero positivo especificado.
a
n
u
Notar que hay una implicaci´n en esta definici´n informal. A saber dice si permitimos a
o
o
x convertirse cercano y m´s cercano a k, entonces f (x) se convertir´ m´scerca y m´s cerca a
a
a a
a
ℓ. Cuando escribimos una demostraci´n, mostramos que al tomar x suficientemente cercano
o
a k, hacemos a f (x) arbitrariamente cerca a ℓ. Sin embargo, antes podemos demostrar la
implicaci´n en la definici´n, necesitamos saber cu´n cerca a k es suficientemente cerca; eso es
o
o
a
que necesitamos encontrar un δ. Ahora vamos a enunciar la definici´n precisa.
oDefinici´n. Suponga que k y ℓ son n´meros reales y f (x) es una funci´n definida en un
o
u
o
intervalo abierto que contiene a k, excepto tal vez en x = k. Si para cualquier n´mero positivo
u
ǫ > 0, existe un n´mero positivo δ > 0 (que depende de ǫ) tal que
u
0 < |x − k| < δ =⇒ |f (x) − ℓ| < ǫ,
entonces decimos que ℓ es el l´
ımite de f (x) cuando x se aproxima a k y escribimos
l´ f (x) = ℓ.
ımx→k

1

Ejemplos. Ahora escribiremos unas pocas demostraciones para guiarte en tu propia
escritura. Para enfatizar la estructura l´gica de la prueba, no mostraremos c´mo hallamos
o
o
nuestro δ en los primeros dos ejemplos.
Ejemplo 1. Mostrar que l´ (3x − 5) = 1.
ım
x→2

ǫ
Demostraci´n. Sea ǫ > 0 y definamos δ = . Entonces si 0 < |x − 2| < δ, tenemos
o
3
|(3x − 5) − 1| = |3x − 6|= 3|x − 2|
ǫ
< 3·
3
= ǫ.
Por tanto hemos mostrado
0 < |x − 2| < δ =⇒ |(3x − 5) − 1| < ǫ,
que muestra l´ (3x − 5) = 1 por definici´n.
ım
o
x→2

Ejemplo 2. Mostrar que l´ (7x − 1) = 27.
ım
x→4

ǫ
Demostraci´n. Sea ǫ > 0 y definamos δ = . Entonces si 0 < |x − 4| < δ, tenemos
o
7
|(7x − 1) − 27| = |7x − 28|
= 7|x − 4|
ǫ
< 7·
7
= ǫ.
Por tanto hemos mostrado
0 < |x − 4| < δ =⇒|(7x − 1) − 27| < ǫ,
que muestra l´ (7x − 1) = 27 por definici´n.
ım
o
x→4

Cada uno de estos ejemplos es una prueba completa. Sin embargo, la pregunta de c´mo
o
elegimos los valores de δ no es respondida por la prueba en si misma. De hecho, algo de
“trabajo desde cero” fue realizado antes en la prueba que fue escrita. Vamos a observar al
trabajo desde cero ahora. (TDC ser´ la...