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PARTE 8.- INTEGRACIÓN SIMPLE

8.1. - INTEGRAL EN EL SENTIDO RIEMANN

La integral definida, es una herramienta matemática, que interviene en una gran cantidad de problemas, tales como: las evaluaciones áreas dominios planos, volúmenes de cuerpos, trabajos desarrollados por fuerzas y masas de distribuciones lineales.

El concepto de integral definida en el sentido Riemann, es yaconocido de cursos anteriores, pero con esta se hacen mas accesibles y mas simples los problemas del primer ciclo de ingeniería. Además esta definición para funciones de una variable sobre intervalos unidimensionales , es el punto de partida para extender el cálculo integral a funciones de varias variables sobre diversas clases de dominios de integración, en dos o mas dimensiones.

8.1.1 .- Conceptointegral definida

Sea f (x) una función, acotada en cierto intervalo cerrado [a , b].
Dividamos [a, b], de forma arbitraria, en (n) intervalos parciales (subintervalos de la partición), de amplitudes,
i =1, 2,3,... n
y elijamos en cada uno de ellos, también arbitrariamente, un punto intermedio.

Para esta partición, se define la suma integralde f (x) en [a, b], según:

es decir, como la suma de los productos de los valores que toma la función de los puntos intermedio, por las amplitudes de los correspondientes subintervalos.
Se llama diámetro de subintervalo al extremo superior del conjunto de distancias existentes entre dos de sus puntos que, en este caso, coincide con la amplitud del subintervalo.Se llama diámetro de una partición, (diamP), como el mayor de los diámetros de los subintervalos parciales.




Después de ésta breve introducción vamos con la definición en si de una integral definida de Riegan:

Definición: Se dice que f (x) es integrable sobre el intervalo [a, b] si existe el límite de la suma integral cuando ( diamP) tiende a cero, siendo independiente de lapartición realizada y de la elección de los puntos intermedios.

A dicho límite se le conoce como integral definida (en el sentido de Riemann) de f (x) sobre [a, b] siendo usual la notación:




8.1.2. - Condición de integrabilidad. Consecuencias

De acuerdo con la definición, para que una función sea integrable, tiene que existirel límite de la suma integral, cuando (diámP), con independencia de la partición realizada y de la selección de los puntos intermedios. Las condiciones necesarias para que esto ocurra, quedan definidas en el siguiente teorema:

Teorema: La condición necesaria y suficiente, para que f (x), sea integrable en [a, b], es que las sumas contiguas, inferior y superior, tengan el mismo límite, cuandoel diámetro de la partición tiende a cero. Dicho límite común coincide con el valor numérico de la integral definida.

Para demostrar que es condición necesaria habrá que probar que suponiendo, la existencia del límite de la suma integral, este coincide con los límites de las sumas superior e inferior. En efecto, veamos que:

Si , deberá ser:
, y de acuerdo con el concepto de límite, ,desigualdad que se verifica, siempre que se elijan los puntos tal que, ; ya que, entonces:



Vemos que el límite que define a la integral no depende de la elección de los puntos y que en el supuesto de continuidad de f (x), la proximidad de f a puede ser tan grande como se desee sin no tener mas que elegir de forma adecuada el punto.

De la misma forma se pruebeque:
Si
Para justificar que la condición es suficiente, es decir:
, es suficiente, con tomar límites en las desigualdades, , de acuerdo con las propiedades de los límites.

8.1.3. - Propiedades de la integral definida

Estas propiedades, tienen como base, las propiedades de los límites. De entre las propiedades de las integrales, destacan las siguientes:

1. La integral...