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ECUACIONES Y SISTEMAS

1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir estos pasos:
1º) Eliminamos los paréntesis; multiplicando el término que vaya delante del paréntesis
por todo lo que haya dentro del paréntesis.
2º) Eliminamos los denominadores; reduciendo a común denominador .
3º) Agrupamos los términos con la incógnita en un miembro de laecuación y los
términos numéricos en el otro. Si un término está sumando en un miembro, pasa
restando al otro miembro; y si está restando, pasa sumando.
4º) Sumamos o restamos los términos de ambos miembros de la ecuación.
5º) Despejamos la incógnita y hallamos su valor numérico. Si un término está
multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro miembro; y si está dividiendo, pasamultiplicando.

x - 3 x - 5 2 x - 13
=
® mcm ( 4, 6,9 ) = 36
4
6
9
9 ( x - 3) 6 ( x - 5 ) 4 ( 2 x - 13 )
=
® 9 x - 27 - 6 x + 30 = 8 x - 52 ®
36
36
36
-55
® 9 x - 6 x - 8 x = -52 + 27 - 30 ® -5 x = -55 ® x =
® x = 11
-5
Ejemplo:

4º ESO OPCIÓN B: ECUACIONES Y SISTEMAS

2

2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se2
puede expresar de la forma ax + bx + c = 0 , siendo a, b y c números reales y
.
Las ecuaciones de segundo grado pueden ser:
a) Completas: Si b ¹ 0 y c ¹ 0
b) Incompletas: Si b = 0 y/o c = 0
Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado utilizamos la fórmula:

-b ± b 2 - 4ac
ax + bx + c = 0 ® x =
2a
2

Al número b 2 - 4ac se le denomina discriminante y se representapor D . El número de
soluciones de la ecuación depende del signo del discriminante:
2
a) D = b - 4ac > 0 ® La ecuación tiene dos soluciones distintas.
b) D = b 2 - 4ac = 0 ® La ecuación solo tiene una solución (doble).
c) D = b 2 - 4ac < 0 ® La ecuación no tiene solución.

4º ESO OPCIÓN B: ECUACIONES Y SISTEMAS

3

2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ejemplos:
2
1) 3x - 2 x - 1 = 0 ® a =3, b = -2, c = -1

2+4 6
ì
ï + : x1 = 6 = 6 = 1
- ( -2 ) ± ( -2 ) - 4 × 3 × ( -1) 2 ± 16 ï
x=
=
í
2×3
6
ï - : x = 2 - 4 = -2 = - 1
2
ï
6
6
3
î
2

2
2) 3x + 2 = 0

0 ± 02 - 4 × 3 × 2 0 ± -24
1 método: a = 3, b = 0, c = 2 ® x =
=
® No tiene solución
2×3
6
-2
-2
2º método: 3 x 2 + 2 = 0 ® 3 x 2 = -2 ® x 2 =
®x=
® No tiene solución
3
3
er

3) 2 x 2 + 3 x = 0
-3 +3 0
ì
+ : x1 =
= = 0
4
4
-3 ± 32 - 4 × 2 × 0 -3 ± 9 ï
ï
1er método: a = 2, b = 3, c = 0 ® x =
=
í
2×2
4
ï - : x = -3 - 3 = -6 = -3
2
ï
4
4
2
î
ì x=0
ï
2º método: 2 x 2 + 3 x = 0 ® x ( 2 x + 3 ) =0 ® í
-3
ï2 x + 3 = 0 ® x =
2
î

4º ESO OPCIÓN B: ECUACIONES Y SISTEMAS

4

3 OTROS TIPOS DE ECUACIONES
3.1) Ecuaciones bicuadradas
Una ecuación bicuadrada es unaigualdad algebraica que se puede expresar de la forma
ax 4 + bx 2 + c = 0 , con a, b y c números reales y a ¹ 0.
2
Para resolver ecuaciones de este tipo, sustituimos x por otra variable, z, y resolvemos
la ecuación az 2 + bz + c = 0 de segundo grado.
Ejemplo:

x 4 - 7 x 2 + 10 = 0 ¾¾¾¾¾¾ z 2 - 7 z + 10 = 0
®
Cambio de variable:
z = x2
z 2 = x4

ì
ìx = 5
7 + 3 10
ï 1
ï+ : z =
=
= 5 ®x2 = 5 ® x = ± 5 í
1
ï
2
2
ï x2 = - 5
7 ± 49 - 40 7 ± 3 ï
î
ï
z=
=
í
2
2 ï
ìx = 2
7-3 4
ï 3
ï - : z2 =
= = 2 ® x2 = 2 ® x = ± 2 í
2
2
ï
ï x4 = - 2
ï
î
î
4º ESO OPCIÓN B: ECUACIONES Y SISTEMAS

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3 OTROS TIPOS DE ECUACIONES
3.2) Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2
Las ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2 las resolveremos factorizando el
polinomio queaparece en la ecuación. A continuación igualamos a cero dicha
factorización y calculamos las raíces.
Para factorizar los polinomios podemos aplicar las distintas estrategias vistas en la
unidad anterior.
El teorema fundamental del Álgebra dice que una ecuación polinómica de grado n puede
tener, como máximo, n soluciones reales.

Ejemplo: 2 x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 = 0
Factorizamos el...