Filtros fir

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Comparación de filtros FIR de fase lineal, por Método Óptimo y de Ventanas.
M. D. Gonzalez, Student Member, IEEE, y A. M. Airabella, Student Member, IEEE.
Universidad Nacional de San Luis – Ejercito de los Andes 950, San Luis, San Luis, Argentina. Un filtro FIR tiene fase lineal si su respuesta al impulso satisface la condición:
h[n]   h[ M  1  n] n  1,2,3..., M  1 (4) De (4) vemosque h[n] es simétrica. Una consecuencia importante de (4) es que las raíces del polinomio H(z) son idénticas a las de H(z-1). Por lo tanto, si z1 es una raíz de H(z), 1/z1 también lo es. Además, si la respuesta al impulso del filtro h(n) es real y compleja, las raíces deben ocurrir en pares complejos conjugados. Si z1 es raíz, también lo es z1*, pero además, 1/z1 y 1/z1*. De las condicionesimpuestas por (4), y evaluando (3) en la circunferencia unidad, obtenemos la respuesta en frecuencia del filtro, H(ω).

Resumen – Los Filtros Digitales han ganado un gran territorio de aplicación en las Tecnologías actuales. En este trabajo realizamos una comparación de diseño de Filtros Digitales calculados por el Método Óptimo y de Ventanas. Estos son esencialmente distintos, y pretendemos demostrarque para una especificación de filtro dada, los resultados pueden ser muy variados. Seleccionamos como caso de diseño un filtro FIR rechaza banda. Abstract – The Digital Filters had gain a big terrain in the actual technologies. In this work, we make a design comparison between Digital Filters calculated with the Optimal Method and the Window Method. They are essentially different, and we pretendto show that for a given filter specification, the results may differ. We selected as a design case a stop-band FIR filter.

C

I. INTRODUCCIÓN

uando se diseña un filtro digital, siempre se tiene en cuenta en que contexto será utilizado el filtro. Es importante, a la hora de diseñar el filtro digital, conocer no solo las características del mismo, sino también con que recursos se cuentapara implementarlo. Partiendo de las especificaciones del filtro deseado, se intentará optimizar al máximo el diseño para que sea fácilmente realizable. Un filtro de Respuesta al Impulso Finita, o “FIR”, con longitud M, entrada x[n] y salida y[n] se describe por la ecuación en diferencias:

H ( )  H r e



j ( M  a ) 2

(5)

donde Hr(ω) es una función real de ω y se puede expresarcomo:

 M  1 H r ( )  h  2  2  H r ( )  2

( M 3) / 2


n 0

 M 1  h[n] cos    n  2  M 1   n 2 

M impar (6) M par (7)

M / 21 n 0

 h[n]cos   

y[n]  b0 x[n]  b1 x[n  1]  ...  bM 1 x[n  M  1]
M 1

y[n] 


k 0

bk x[n  k ]

(1)

La característica de fase del filtro para M impar y para M par es:

donde {bk} es el conjuntode coeficientes del filtro. Alternativamente, podemos expresar la salida como la convolución de la entrada con la respuesta al impulso h[n] del filtro, como se muestra a continuación:
M 1

 M 1 ( )      2   M 1  ( )      2 

Si Hr(ω) > 0 (8) Si Hr(ω) < 0 (9)

y[n] 


k 0

h[n]x[n  k ] (2)

Para el caso en el que h[n]  h[ M  1  n] , tenemos que larespuesta al impulso será antisimétrica. Los resultados para la respuesta en frecuencia se muestran a continuación:

Se deduce de las ecuaciones anteriores que bk = h[n]. Tenemos también que el filtro puede caracterizarse por su función de transferencia, a saber:

H ( )  H r e j  ( M 1) / 2 / 2 (10)
donde:
( M 3) / 2

H ( z) 

M 1 k 0

 h[k ]z

k

(3)

H r ( )  2
n0

 M 1  h[n]sen   n  2 

M impar (11)

2

H r ( )  2

M / 21


n0

 M 1  h[n]sen   n  2 

M par (12)

La característica de fase del filtro para M impar y para M par es:

  M 1     2  2  3  M 1  ( )     2  2 
( ) 

Si Hr(ω) > 0 (13) Si Hr(ω) < 0 (14)

Estas formas de respuesta en frecuencia generales se pueden...