final analisis 2

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Fac. Cs. Exactas (UNICEN)

Análisis Matemático II – Final Regular
Fecha: 13/12/2005
1) Determine el volumen del sólido limitado por el cilindrox= y 2 y los planos
z =0 y x z=1

Entonces podemos ver que nuestra región de integración es

1

 x 1−x

1

∫ ∫ ∫ dz.dy.dx
0 − x

∫ ∫ 1−x dy.dx

=

0

1

∫  y−xy 

=

0− x

x

1

∫   x− x x −− x x x dx

l dx =
− x

0

x

=

0

3
5
2 2 2 2 1
2 2
8
2 ∫   x− x x dx = 2 ∫  x −x  dx = 2  x − x  l = 2  −  =
3
5
3 5
15
0
00
1

1

1
2

3
2

2) i- Evaluar el polinomio de Taylor de 2º grado de la función
y
f  x , y =x.arctg   con x≠0 en el punto (1,0).
x
Formula de Taylor de 2º orden:
1
x
f  x 0x , y 0 y = f  x 0 , y 0 ∇ f  x 0 , y 0 . x , y   x , y . H  x 0 , y 0 . R x , y
2
y
Resolviendo:
f  x 0 x , y 0 y = f 1x , y 
f  x 0 , y 0 = f 1,0=0
∇ f  x 0 , y0 = arctg 

arctg 

y0
 x 0 .
x0

1
1

y
x

2
0
2
0

.

− y0
x

2
0

, x0 .

1
1

2
0
2
0

y
x

.

1
=
x0

y0
−y
y
−x y
x2
1
1
1
x 0 .2 2 . 2 0 , x 0 . 2 2 . = arctg  0  2 0 0 , 2 0 2 =0,1
x0
x0
x 0 y 0 x 0
x 0 y 0 x 0
x 0 y 2 x 0 y 0
0
x2
0

d2 f
 x0 , y 0=
dx 2

1
1

y2
0

x2
0
.

− y0
x20

−

y 0  x 02  y 02− x 0 y 0 .2 x 0 −2 y 0 x 02−2 y 03
=
=0
 x 0 2  y 0 2 2
 x 0 2  y 0 2 2

x2
0

2x 0  x 2  y 2− x 2 2x0
2x 0 y 2
d2 f
d2 f
0
0
0
0
 x 0 , y 0 = x0 , y 0=
= 2 2 2 =0
2
2 2
dydx
dxdy
 x 0 y 0 
 x 0 y 0 
−x 2 2y
d2 f
 x0 , y 0= 2 0 2 02 =0
2
dy
 x 0 y 0 
Entonces:
f 1 x , y=00,1 . x , y 0 R x , y = yRx , y

El polinomio de Taylor de 2º orden en el punto (1,0) es y
1 2
3) Calcular I =∫  2x− y dx x3y dy donde x=t y y= t , y
2
c

Utilizando Teorema de Green

P=2x− y 

dP...