Fisica 2

MOVIMIENTO OSCILATORIO
MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO (MOA)
Al tratar el MAS hemos considerado que las oscilaciones tienen una amplitud constante en el tiempo. Pero los sistemas reales siempre experimentan pequeñas fuerzas de rozamiento que al transcurrir el tiempo van amortiguando (disminuyendo) la amplitud de las oscilaciones hasta eliminarlas. Este tipo de movimiento cuya amplitud sereduce con el tiempo, se denomina Movimiento Oscilatorio Amortiguado (MOA). Una aplicación útil del MOA lo tenemos en los vehículos automotores, que mediante amortiguadores se logra una fuerza de rozamiento que elimina las oscilaciones en el menor tiempo posible. De no existir amortiguadores, un simple bache produciría oscilaciones de larga duración, las cuales crearían incomodidad en los pasajeros einseguridad en el conductor.

MOVIMIENTO OSCILATORIO
Para oscilaciones de velocidad menor que la velocidad del del sonido (a fin de no producir turbulencia) la fuerza amortiguadora es opuesta y proporcional a la velocidad. (84) Ff = – c v donde c es una constante o factor de amortiguamiento que depende de la viscosidad del medio y la forma del cuerpo oscilante. Se mide en N.s/m = kg/s. Elsigno negativo indica que la fuerza amortiguadora Ff siempre es opuesta a la velocidad v = dx/dt. Como modelo físico de MOA usaremos un oscilador armónico con su masa oscilando dentro de un líquido amortiguador, como se muestra en la Fig. 59. F´ Ff k

m

x v

Líquido

Figura 59.

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Para la elongación x del resorte y velocidad v de la masa, las fuerzas que actúan sobreella son la fuerza recuperadora del resorte F´ y la fuerza amortiguadora del líquido Ff. Aplicando al sistema la segunda ley de Newton se tiene 2 ΣF = Ff + F´ = m d x dt2 Usando valores de las fuerzas 2 –cv–kx=md x dt2 que puede escribirse en la forma d2x + c dx + k x = 0 m dt m dt2 c =2d donde definimos las constantes m y k = ω2 m

(85)

(86)

MOVIMIENTO OSCILATORIO
Entonces d2x +2d dx +ω2 x = 0 dt dt2 (87)

La constante d se denomina frecuencia o parámetro de amortiguamiento, se mide en rad/s y ω es la conocida frecuencia angular del MAS. Esta es la ecuación diferencial que rige el MOA y difiere de la ecuación del MAS en el término ( 2d dx/dt ) y la solución es una función que se calcula mas delante de manera general. Para el caso de pequeño amortiguamiento ( d < ω ), lafunción solución de la ecuación diferencial puede deducirse empíricamente a partir del gráfico que deja un oscilador armónico amortiguado sobre una hoja de papel que se desliza a velocidad constante frente a la masa que lleva un marcador, como se muestra en la Fig.60.

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Uniendo los puntos de máximo desplazamiento de las oscilaciones amortiguadas, a uno y otro lado del ejecentral (t), obtenemos una curva envolvente que representa la amplitud del MOA. Esta curva es del tipo exponencial (Fig.48). A = Ao e-dt (88)

+Ao o -Ao

X

Papel móvil

k
t

m
Curva envolvente A(t) Figura 60.

donde Ao es la amplitud inicial del MOA en t = 0 y d es una constante positiva a determinar. La curva oscilante debe ser del tipo seno o coseno. Elegimos la función tipo: sen(ωdt - α ), donde ωd es la frecuencia angular del MOA y α es la fase inicial.

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Como las dos curvas están interrelacionadas, sus ecuaciones también deben relacionarse en una sola función del tipo X = Ao e-d t sen ( ωd t - α ) (89) Esta función define la posición de la masa en cualquier instante. Para verificar que esta función satisface la Ec.(87), obtenemos las respectivasderivadas y sustituimos. Haciendo un poco de matemática se tiene que: La frecuencia angular del MOA es ω d = ω 2 – d2 y usando la Ec.(86) esta expresión toma la forma ωd =
2 k – c 2 m 4m

(90)

(91)

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y el período del MOA es T= 2π ω2 – d2 = 2π (92)
2 k – c 2 m 4m El logaritmo de la relación entre dos amplitudes sucesivas del MOA se denomina decremento logarítmico...