Fisica Basica

Capítulo 04

Cinemática en Dos Dimensiones

Contenido
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Posición Desplazamiento y distancia recorrida Velocidad y rapidez media Velocidad y rapidez instantánea Aceleración media e instantánea Movimiento con aceleración constante Movimientos Unidimensionales Caída Libre Movimiento de Proyectiles Movimiento Circunferencial Uniforme

Posición

ˆ ˆ ˆ r = xi + yj + zky r z x

Módulo:

r = r = x2 + y 2 + z 2

Desplazamiento

Δr ≡ r f − ri
trayectoria

Δs
Δr
ri
rf

distancia recorrida vector desplazamiento

Desplazamiento
Δ r = r f − ri
ˆ ˆ j Si: ri = x i i + y i ˆ + z i k
Entonces:
Δr =
ˆ ˆ rf = x f i + y f ˆ + z f k j

y

(x

f

ˆ ˆ − xi i + y f − yi ˆ + z f − zi k j

) (

)

(

)

ˆ ˆ Δr = ( Δx ) i + ( Δy ) ˆ + ( Δz) k j

Magnitud del vector desplazamiento:
Δr =

(x

f

− xi

) +(y
2

f

− yi

) +(z
2

f

− zi

)

2

En general: Magnitud del vector desplazamiento
Ejemplo: En un año la Tierra gira en torno al Sol ...

distancia recorrida

Velocidad Media r f − ri Δr ≡ = Δt t f − ti



[ Δr ] = L = m [ < v > ] = Δt T s [ ]
Δr

Velocidad Media
r f − ri Δr = = Δt tf − ti
Si:

ˆ ˆ ri = xi i + yi ˆ + zi k j

y

ˆ ˆ rf = x f i + y f ˆ + z f k j
− yi

Entonces:
=

(x

f

− xi

t f − ti

) iˆ + ( y

f

t f − ti

) ˆj + ( z

f

− zi

t f − ti

) kˆ

Δx ˆ i+ = Δt < v > = < vx >

Δy ˆ Δz ˆ j+ k Δt Δt ˆ ˆ i+ < v y > ˆ < v z > k j+
“Componente y de la velocidad media” = “velocidad media en el eje y”

Ejemplo: Calcule eldesplazamiento y la velocidad media, si el intervalo de tiempo entre las dos posiciones es Δt = 10 s y las posiciones están medidas en metros.

Velocidad Instantánea
v ( t ) = v inst r f − ri Δr = lim ≡ lim Δt → 0 Δt Δt → 0 t f − t i

recta tangente

[d r ] = [v ] = dt [ ]

L m = T s

Velocidad Instantánea
Δr dr v ( t ) = lim = dt Δt → 0 Δt

⎡ Δx ˆ Δy ˆ Δz ˆ ⎤ v ( t ) = lim ⎢ i+ j+k⎥ Δt Δt ⎦ Δt → 0 ⎣ Δt
Δx ⎤ ˆ ⎡ Δy ⎤ ˆ ⎡ Δz ⎤ ˆ ⎡ v ( t ) = ⎢ lim ⎥ i + ⎢ lim0 Δt ⎥ j + ⎢ lim0 Δt ⎥ k ⎣ Δt → 0 Δt ⎦ ⎣ Δt → ⎦ ⎣ Δt → ⎦

⎡ dx ⎤ ˆ ⎡ dy ⎤ ˆ ⎡ dz ⎤ ˆ v (t ) = ⎢ ⎥ i + ⎢ ⎥ j + ⎢ ⎥ k ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦
ˆ ˆ v (t ) = v x i + v y ˆ + vz k j

Ejemplo: Considere un automóvil moviéndose en línea recta ...

En este caso tendremos que:

ˆ r = x(t) i
Suponga, además, que el auto semueve de acuerdo a la siguiente ecuación de itinerario:

x
42 36 30 24 18 12 6

ˆ r (t ) = 3t 2i
con t en segundos y x en metros

0

1

2

3

4

t

¿Cuánto vale la velocidad instantánea cuando t = 3 s?

Desplazamiento y velocidad media para diferentes intervalos de tiempo.
(los intervalos comienzan en t = 3 s)

ˆ r ( t ) = 3t 2 i
x
42 36 30 24 18 12 6 1 2 3 4

Δt(s)1,00 0,50 0,25 0,10 0,05 0,01 0,001

Δr ( m )
21,00 i 9,75 4,69 1,83

< v > (m / s)
21,00 i 19,50 i 18,80 i 18,30 i 18,15 i 18,03 i 18,003

i i

i

0,9075 i 0,1803 i 0,018003 i

t

i
pendiente de la tangente en t =3s

Por ejemplo, para Δt = 0,01s:

ˆ ˆ Δr = r f − ri = x ( 3s + 0,01s ) i − x ( 3s ) i
ˆ − 3 ( 3 ) 2 mi = ( 27,1803m − 27m ) i = 0,1803mi ˆ ˆ ˆ Δr = 3 ( 3,01) mi
2Cálculo analítico del límite 2ˆ r ( t ) = 3t i
Entonces:

Δ r = r f − ri = r ( t + Δ t ) − r ( t )
ˆ ˆ Δ r = 3 (t + Δt ) i − 3t 2i
2

ˆ Δ r = ⎡ 3 ( t 2 + 2 tΔ t + Δ t 2 ) − 3 t 2 ⎤ i ⎣ ⎦ ˆ ⎡ 6 tΔ t + 3 Δ t 2 ⎤ i Δr = ⎣ ⎦
Dividiendo por Δt, se tiene:

Δr Δt

=

[ 6 t + 3 Δ t ]iˆ

Por lo tanto:

v (t )

Δr ˆ = lim = 6t i Δt → 0 Δ t

Resumiendo, si: Entonces:

ˆ r ( t ) =3t i
2

ˆ v ( t ) = 6t i
“Ruta corta”:

¡ DERIVAR !
d d 2 2 ( 3t ) = 3 dt ( t ) = 3 ( 2 ⋅ t ) = 6t dt

Algunas derivadas útiles
f

(t )
α
n

df dt
0

t

n t n−1
co s ( t )
− s in ( t )
dg dh + dt dt

s in ( t )
cos (t )
g (t ) + h (t )

g (t )⋅ h (t )
g ( h ( t ))

dg dh ⋅ h (t ) + g (t )⋅ dt dt
dg dh ⋅ dh dt

Rapidez
La rapidez se define como el módulo...