fisica estado solido

Teoría de Bandas

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Hamiltoniano del sólido
- Una teoría exacta para un sistema de iones y electrones interactuantes es
inherentemente mecánico cuántico
r r
r r
H ψ ({ R I ; ri }) = E ψ ({ R I ; ri })
con
H = −

2

∑ 2hM
I

I

r2
∇ Rr −
I

2

r2

∑ 2hm ∇ rri
i

e

+

1
2

2

2

2

∑ |rr e− rr | − ∑ |RZr I −err | + ∑ Z|RrI Z−JRre|
i, j
j ≠i

i

j

i ,I

I

I ,J

i

- Aproximación de Born-Oppenheimer ( M I me ~ 103 − 105 )
H = −

∑
i

1
h2 r 2
∇ rr +
2
2 me i

∑
i, j
j ≠i

e2
r r −
|ri − r j |

∑
i ,I

Z I e2
r r +
| RI − ri |

∑
I ,J

Z I Z J e2
r r
| RI − R J |

- Si los iones están en reposo
H = −

∑
i

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1
h2 r 2
∇ rr +
2
2 me i

∑i, j
j ≠i

e2
r r −
|ri − r j |

∑
i ,I

Z I e2
r r
| RI − ri |

I

J

- Los electrones son fermiones, entonces la función de onda debe ser
completamente antisimétrica bajo el intercambio de electrones

r

r

r

r

r

r

r

r

ψ (r1 , L, ri , L, rj ,L , r ) = −ψ (r1 ,L , rj , L, ri ,L , r )
normalizado

r

r

∫ ψ dr1 L dr = 1
2

- Estanormalización lleva a una expresión para la densidad electrónica

r
n( r ) =

r r

r

∫ ψ dr dr2 L dr
2

- El valor esperado de la interacción electrón-ión, se puede calcular como
una interacción clásica

r 
r r
r

EeZ = e ∫ψ *  ∑ Vext (ri ) ψ dr1dr2 L dr
 i


con

r
− eZ
Vext (ri ) = ∑ r rI
I ri − RI

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r
r r
r
r 1 r r
EeZ = ∑ e ∫ Vext (ri )ψ*ψ dr1dr2 L dr = e∑ ∫ Vext (ri ) n(ri ) dri
i

o sea

i

r r r
EeZ = e ∫ Vext (r )n(r ) dr

Si se pudiera expresar la interacción electrón-electrón y la energía cinética como
función de la densidad electrónica, se pudiera se pudiera resolver exactamente el
problema, usando DFT (teoría del funcional de la densidad).

- Teoría de campo medio. La interacción electrón-electrón sereemplaza por
un término que representa la interacción de los electrones con un potencial externo
que representa el potencial medio creado por los mismos electrones


r 
h2 r 2
 − ∑
∇ i + ∑ Veff (ri ) ψ = Eψ
i
 i 2me




⇒  ∑ H i ψ = Eψ
 i


r
h2 r 2
∇ i + Veff (ri )
Hi = −
2me
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electrón libre
- Ecuación de Schrödinger para electroneslibres:

h2 r 2
Hψ = −
∇ ψ =ε ψ
2m

r
1 ikr⋅rr
ψ kr (r ) =
e
V

v
;

r

3
ψ
(
r
)
d
r =1
∫
2

v

V

h 2k 2
εk =
2m

r
r
r
Pψ = −ih∇ψ = hk ψ
r
Cada vector k y el espín identifican unívocamente un estado electrónico
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Potencial periódico
- Consideremos la difracción de electrones por un sistema periódico:
Condición de Bragg:

∆k = k− k ′ = G

y

k = k′

⇔ 2d sin θ = nλ (ley de Bragg)

- Zona de Brillouin

r
k ⋅ Gˆ = 12 G
También los electrones libres que son parte del cristal pueden ser
dispersados por reflexiones de Bragg cuando se considera el potencial
periódico de la red
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- La estructura introduce un potencial periódico U(x)

El potencial periódico tiene dos consecuenciasimportantes:
- Restringe la forma de las autofunciones de onda
- Sugiere que un análisis de fourier puede ser útil
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Modelos simple
- Potencial simple unidimensional:

U ( x) = − A cos
2π

2π
x
a
2π

A  i x −i
= −  e a + e a
2

x


A
 = − eiG x + e −iG x

2


(

)

- Suponemos que el potencial es suficientemente débil: empezamos conondas
planas del electrón libre e investigamos como estas son modificadas por la
presencia del potencial periódico:
- La ecuación de Schrödinger es:

h2 2
−
∇ ψ ( x) + U ( x)ψ ( x) = εψ ( x)
2m
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- Los estados 1 y 2 estarán acoplados por
el potencial a través de reflexiones de
Bragg.
Este acoplamiento será más fuerte
mientras k sea más cercano a la zona de...