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Indeterminación 1 elevado a infinito

Antes de nada me gustaría hacer una aclaración que suele suponer una duda común: . Es decir, si multiplicamos 1 por sí mismo, por muchas veces que lo hagamos, siempre nos dará 1. En los límites, sin embargo, no tendremos el número 1 elevado a infinito, sino un número que tiende a 1, muy cercano a 1, elevado a infinito.
Existen dos métodos que nos permitenresolver esta indeterminación. El primero, que es el tradicional, se basa en conocer este límite:

y la estrategia consistirá en “dar forma” al límite que se nos pide para que se parezca a esta expresión.
El segundo método consiste en calcular el logaritmo del límite y luego “deshacer” dicho logaritmo. Lo veremos en otro artículo. Vamos con el primer método.
Supongamos que nos piden el límiteObservamos que el límite cuando x tiende a infinito del paréntesis es 1, mientras que el del exponente es infinito. Estamos ante el caso de indeterminación .
Si lo comparamos con lo primero que vemos es que necesitamos un uno sumando. Pues vamos a sumarle 1 a nuestro límite, y también restaremos 1 para compensar. Así:

Es lo mismo, ¿verdad? Vamos a “meter” el -1 dentro de la fracción:Volvemos a comparar con . Necesitamos un 1 en el numerador. Para ello, obtendremos una fracción equivalente dividiendo por 11 tanto el numerador como el denominador:


Listo. Volvemos a comparar  con nuestro límite. Ahora necesitamos tener en el exponente la misma expresión que en el denominador. Lo que vamos a hacer es colocar en el exponente la fracción pero la multiplicaremos por suinversa, para que se cancelen entre sí. Tendremos que escribir también el exponente original. Así:

Observa que en el exponente se cancelan las fracciones que hemos añadido, así que en realidad tenemos la misma expresión que hemos tenido siempre. Ahora compara lo siguiente:

¿Observas que la forma de la parte entre paréntesis de la primera expresión es igual a la forma de la segunda? Bueno, como ,podemos sustituir todo el paréntesis por el número e así:

y seguir a lo nuestro:


que es el resultado final.
Resumimos los pasos:
1. Sumar 1 y restar 1 (sumamos por la izquierda y restamos por la derecha) en la expresión de la base.
2. Introducir el -1 en la fracción que tenemos en la base (si es que tenemos una fracción).
3. Dividimos numerado y denominador entre la expresión delnumerador. Así, tendremos un 1 en el numerador.
4. En el exponente, escribimos el denominador, multiplicado por la inversa del denominador, y multiplicado por el exponente original
5. Toda la parte de la base elevada al denominador la sustituimos por el número e y seguimos desarrollando el límite normalmente.
Todos estos pasos pueden resumirse en una fórmula, si nos gustan las fórmulas y nos resultasencillo recordarlas, que es la siguiente:

Vamos con otro ejemplo:

Si reemplazamos x por el valor 1, obtenemos una base igual a 1 y un exponente infinito. Estamos en el mismo caso.
Sumamos y restamos 1:

Incluimos en -1 en la fracción:


Dividimos numerado y denominador por (2x – 2):

En el exponente, escribimos el denominador, multiplicado por la inversa del denominador, ymultiplicado por el exponente original:

Toda la parte de la base elevada al denominador la sustituimos por el número e y seguimos desarrollando el límite normalmente:



¿Tienes algún límite en el que aparezca el caso 1 elevado a infinito ()  que sea un buen ejemplo, o que te resulte difícil de hallar? ¡Coméntalo! Tal vez quieres echar un ojo a este atículo sobre cómo escribir fórmulas.Indeterminación infinito partido infinito
Publicado el 6 octubre 2012 por Felipe

La indeterminación es una de las más fáciles de tratar. Es especialmente sencilla si se trata de un cociente de polinomios. En ese caso, solo debemos fijarnos en cuál es el grado del numerador y cuál es el grado del denominador.
Cociente de polinomios
Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el...