Flujo de calor en una barra infinita

FLUJO DE CALOR EN UNA BARRA INFINTA

El análisis armónico y las ecuaciones en derivadas parciales han estado entrelazados desde sus comienzos, en la obra de Joseph Fourier (1768-1830). En su famoso estudio de la teoría matemática de conducción del calor (1807), Fourier dedujo una ecuación (la ecuación del calor) para describir el flujo de calor en una barra unidimensional, a partir de la “Leyde enfriamiento de Newton” (el flujo de calor a través de un punto es proporcional al gradiente temperatura en ese punto). La ecuación es , y Fourier resolvió el “problema a valores iniciales” (PVI) para esta ecuación, es decir dada la temperatura inicial de una barra finita, cuyos extremos son mantenidos a temperatura constante, Fourier calculó la temperatura en el futuro, en cualquier punto dela barra. En el curso del cálculo de la solución, Fourier hizo una afirmación, que ha motivado el estudio del Análisis Armónico desde ese momento. La afirmación de Fourier fue la siguiente: Cualquier función , definida en [-, ], sin importar cuán caprichoso sea su gráfico, puede ser representada como una suma infinita de funciones trigonométricas:

Más aún, Fourier dio una receta para calcular:

Esta afirmación fue muy controvertida, porque son funciones “buenas”, y entonces cómo puede ser posible que funciones “malas” puedan ser representadas por su suma. Todavía hoy se sigue estudiando esta cuestión. Aún cuando la afirmación de Fourier es falsa para todas las funciones y todos los puntos, el método de Fourier funcionó, y rápidamente tuvo un número de importantes aplicaciones.Por ejemplo: El cálculo de la temperatura de la tierra. La predicción de las mareas (Kelvin). El “analista armónico” (una máquina). El cable transatlántico (Kelvin). El cálculo de la edad de la tierra, etc. Cuando se estudia el flujo de calor en una barra infinita (Fourier 1822) uno es llevado a estudiar representaciones análogas para funciones, como integrales, de la forma:

Donde la fórmula dedebe ser:

El hecho que (*) es cierta para muchas funciones, en sentidos apropiados, ha sido instrumental en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales lineales (de las cuales la ecuación del calor es un ejemplo), en los últimos 100 años. La idea básica de Fourier para el (PVI) para la ecuación del calor es que, si lo resolvemos para , para cada , (*) y linealidad nos dan la solucióngeneral. Esto se extiende a dimensiones mayores ), y ha sido instrumental en el desarrollo espectacular de las ecuaciones lineales en derivadas parciales, en el siglo 20. Volviendo a (*), (**) una posible manera de darle significado es preguntarse si (o cuándo) se tiene:

Donde:


Observen que . Una conjetura famosa del matemático ruso Lusin (1915) era que es cierta para toda:

y casi todo, (en el sentido de la medida de Lebesgue). Esta conjetura, para fue probada por L. Carleson en 1966, quien lo hizo demostrando la siguiente desigualdad:

La necesidad de una estimación del tipo (**) para la validez de la conjetura de Lusin había sido establecida previamente, por A. P. Calderón. Ahora nos vamos a concentrar en una familia de ecuaciones diferenciales parciales no lineales,para las cuales se ha usado, con mucho éxito las ideas del análisis armónico. Estas son las llamadas ``ecuaciones dispersivas no-lineales'', que aparecen como modelos en algunos problemas de propagación de ondas. El ejemplo en el que me voy a enfocar es la familia de (PVI):

El caso usualmente llamado KdV aparece en el estudio de la propagación de olas en canales poco profundos. El caso(usualmente llamado mKdV) es importante porque muchos modelos hiperbólicos se reducen a mKdV. Estos dos casos también son de particular importancia porque el método de “inverse scattering” se les aplica, para obtener soluciones. Hablaremos más de esto luego. Hemos decidido ilustrar las ideas concentrándonos en mKdV, el caso Debemos primero desarrollar terminología, inspirada por la teoría de ecuaciones...