Flujo incompresible

IX.- FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE

IX.1.- FLUJO LAMINAR EN CONDUCTOS CIRCULARES En un flujo laminar la corriente es relativamente lenta y no es perturbada por las posibles protuberancias del contorno, mientras que la viscosidad es relativamente grande, de forma que si por cualquier circunstancia se inicia un fenómeno de turbulencia, la viscosidad lo destruye. En consecuencia la formulación quese va a desarrollar sirve, tanto para tuberías lisas como para tuberías rugosas, suponiendo que las partículas de fluido, en un flujo laminar a lo largo de un tubo, se mueven en capas cilíndricas coaxiales; en el eje del tubo, el desplazamiento se realiza a mayor velocidad, mientras que en las paredes permanece en reposo. La distribución de velocidades en una sección transversal cualquiera del tuboobedece a las fuerzas de rozamiento transmitidas de capa en capa. Si se considera un tubo por el que circula un fluido, Fig IX.1, de diámetro (2 R) y coaxialmente se toma un cilindro de
Fig IX.1.- Tubo de fluido para la ecuación de Poiseuille

fluido de diámetro (2 r) y longitud ∆l, que se puede ais-

lar imponiéndole unas condiciones de contorno, aplicando en su base frontal una presión p yen la posterior (p - ∆p), así como el coeficiente τ de cortadura. Sobre el cilindro actúa un empuje longitudinal de la forma: Femp = π r 2 ∆p y la fuerza de rozamiento que se opone a este empuje: Froz = η S du = dr S = 2 π r ∆l = 2 π η r ∆l du dr

que es igual a la de empuje, por lo que: 2 π η r ∆l u = du = π r 2 ∆p dr ⇒ r ∆p du = dr 2 η ∆l

∆p 2 η ∆l

∫

R

r dr =

r

∆p (R 2 - r 2) 4 η ∆l
IX.-141

que es una distribución del campo de velocidades de tipo paraboloide de revolución. La expresión del caudal es: Q =

∫

R

u dΩ =

0

∫

R

u 2 π r dr =

0

∆p 4 η ∆l

∫

R

(R 2 - r 2 ) 2 π r dr =

0

π R 4 ∆p 8 η ∆l

que es directamente proporcional a la variación de presión entre las secciones A y B, a la cuarta potencia del radio de laconducción, e inversamente proporcional al tramo de tubería considerada de longitud ∆l y a la viscosidad dinámica η. El caudal es: Q = Ω uF, siendo uF la velocidad media, que se puede poner en la forma: π R 4 ∆p 2 ∆p 8 ηL Q uF = = = R Ω 8η L π R2 siendo en esta ecuación ∆p la caida de presión en toda la tubería de longitud L.

Fig XII.3.- Distribución del coeficiente de cortadura, y disipación deenergía

La velocidad máxima se tiene para, r = 0, de la forma: u máx = R 2 ∆p 4η L

La relación entre la velocidad máxima y la velocidad media es: umáx = 2 uF Despejando de la expresión de la velocidad media el valor de ∆p, se obtiene la ecuación de Poiseuille, de la forma: ∆p = 8 η L uF 32 η L u F = 2 R d2

La pérdida de carga total ∆p correspondiente a la longitud de tubería L se puede poneren función de la pérdida de carga por unidad de longitud de tubería J, en la forma: ∆p = J L expresión que se puede poner en función del número de Reynolds, y el coeficiente λ de rozamiento, en la forma:
J= ∆p 32 η u F 32 η u F u F ρ = = = 2 L uF ρ d d2 Re = uF d η/ρ
IX.-142

=

32 u 2 ρ λ u2 λ u2 F F F = ρ = γ d Re 2d 2 gd

⇒ λ = 64 Re

que es el valor del coeficiente λ de rozamientopara el flujo de un fluido por un conducto en régimen laminar.  γ = 1 ; ∆e en (m) El valor de ∆p para el agua, en función de γ es:  3 2  γ = 1000 (kg/m ) ; ∆e en (kg/m ) La ecuación de Poiseuille indica que la pérdida de carga en régimen laminar, para tuberías lisas o rugosas, es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. En la Fig IX.2 se indican otras distribucionescorrespondientes al coeficiente τ de cortadura, velocidad u y disipación de energía por rozamiento. IX.2.- MOVIMIENTO TURBULENTO Todos los estudios realizados para determinar las pérdidas de carga en el movimiento turbulento, se pueden representar por la expresión: J= ρ λ u2 16 ρ λ Q 2 = = k Q2 2d 2 π2 d 5

en la que: λ = f (u, d, ρ, η, ε ) = f (Re, ε ), siendo ε la rugosidad absoluta. d d Para tuberias...