Flujo lineal fluido

FLUJO LINEAL DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE

El capítulo 3 ha sido dedicado a la discusión de los fundamentos que permiten aproximar una ecuación diferencial parcial a diferencias finitas. A través de todo el capítulo, se trabajó con una ecuación diferencial de flujo sencilla con la finalidad de ilustrar la aplicación de los conceptos básicos allí presentados.

Este capítulo aplica los conceptosdiscutidos en el capítulo 3 al flujo lineal de un fluido incompresible a través de un medio poroso. A diferencia del capítulo anterior, las ecuaciones diferenciales utilizadas corresponden a ecuaciones de flujo que describen de forma más realista los procesos que ocurren en el sistema; tales ecuaciones han sido previamente deducidas en el capítulo 2.

El capítulo se divide en dos partes. Enla primera parte se discute la ecuación básica del modelo numérico. En la segunda parte se soluciona el modelo numérico con la finalidad de estimar la distribución de presiones en el sistema en función de las ratas de flujo, conocidas las propiedades del fluido y de la formación.

1 ECUACIÓN BÁSICA

La ecuación de continuidad para flujo monofásico en una dirección está dada por la Ecuación2.46:

[pic] (2.46)

Para flujo lineal, la Ecuación 2.46 toma la siguiente forma:

[pic] (4.1)

La ecuación de estado para un fluido incompresible está dada por la Ecuación 2.8:

[pic] (2.8)

Sustituyendo la Ecuación 2.8 en la Ecuación 4.1 y considerando que la porosidad del medio es constante con el tiempo, se obtiene:

[pic] (4.2)

Si se define a [pic] como el volumen defluido que entra o sale por fuentes o sumideros por unidad de volumen total de yacimiento por unidad de tiempo, entonces la relación entre [pic] y [pic] estará dada por la siguiente ecuación:

[pic] (4.3)

Llevando la Ecuación 4.3 a la Ecuación 4.2, se obtiene:

[pic] (4.4)

La Ecuación 4.4 es la ecuación fundamental de flujo que rige el flujo monofásico de un fluido incompresible alinterior de un medio poroso lineal.

2 PLANTEAMIENTO DEL MODELO NUMERICO – MALLA DE BLOQUE CENTRADO

Para dar solución numérica a la Ecuación 4.4 es necesario dividir el sistema en [pic] bloques, tal como se ilustra en la Figura 4.1 para una malla de bloque centrado. Para fines prácticos, es necesario considerar que los bloques son de diferente longitud y el área, la permeabilidad y la viscosidaden un bloque puede diferir de los demás.

1. Discretización Lineal en Bloques de Diferente Longitud – Malla de Bloque Centrado

Debido a que el producto [pic] no es el mismo para todos los bloques, no es posible extraerlo del diferencial de la Ecuación 4.4, tal como se hace con una constante. Dada esta no linealidad, no se puede aplicar la aproximación para la segunda derivada en laforma como se hace en la Ecuación 3.24.

Considere la siguiente definición para el bloque [pic]:

[pic] (4.5)

De esta forma, la Ecuación 4.4 puede ser escrita como:
[pic] (4.6)

Considérese el [pic]-ésimo bloque de un sistema lineal como el ilustrado en la Figura 4.2. De series de Taylor, Ecuación 3.2, la función [pic] puede expandirse en torno a un punto [pic] mediante la siguienteexpresión:

2. Esquema del [pic]-ésimo Bloque de un Sistema Lineal – Malla de Bloque Centrado

[pic] (4.7)

Si el punto en torno al cual se expande la función [pic] es [pic] y la función se evalúa en el punto [pic], entonces [pic] y de la Ecuación 4.7 se obtiene:

[pic]

[pic] (4.8)

Si la función se evalúa en punto [pic], en lugar de [pic], entonces [pic] y de la Ecuación 4.7se obtiene:

[pic] (4.9)

Restando la Ecuación 4.8 de la Ecuación 4.9, se obtiene:

[pic]

Resolviendo para [pic] se tiene:

[pic]

Por consiguiente:

[pic] (4.10)

El error de truncamiento de la Ecuación 4.10 es de segundo orden:
[pic]

Sustituyendo la Ecuación 4.5 en la Ecuación 4.10, se obtiene:

[pic]

Por conveniencia, la ecuación anterior suele ser escrita de la...