Focas

Movimiento armónico simple

Se dice que una masa sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando oscila alrededor de un punto de tal manera que la fuerza total que se ejerce sobre ella es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste. Su posición en función del tiempo es una sinusoide, de manera que se trata de un movimiento periódico de vaivén, enel que el cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y con un periodo constante.

Cinemática del movimiento armónico simple

[pic]
Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple

Ecuación del movimiento

Posición

La base de un movimiento armónico simple consiste en que la magnitud de la únicafuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento x de ésta respecto al equilibrio. En un desplazamiento según el eje Ox, esta fuerza es tal que Fx = − kx donde k es una constante positiva y x la elongación, es decir, la posición de la partícula en cualquier instante respecto de la posición de equilibrio. El signo negativo indica que en todo momento la partículaexperimenta una fuerza contraria a su posición (le "empuja" hacia la posición de equilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial
[pic]
Siendo [pic]la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo [pic]se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:
(*) [pic]
Unasolución de la ecuación diferencial (*) es;
[pic]
Donde:
[pic]: es la elongación, es decir, la posición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la partícula que vibra.
[pic]: es la amplitud del movimiento (alejamiento máximo del punto de equilibrio).
[pic]: es la frecuencia angular
[pic]: es el tiempo que determina el movimiento.
[pic]:recibe el nombre de fase inicial e indica el estado de vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como
[pic],
[pic]
Y por lo tanto el periodo como
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión [pic].

Velocidad

La velocidad se obtiene derivando la ecuaciónde la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:
(2) [pic]

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
(3) [pic]

Amplitud

Es posible calcular la amplitud A del movimiento conociendo su posición x0 y velocidad v0 iniciales. La amplitud se puedecalcular entonces teniendo:[1]
[pic]
[pic]
Sumando las dos ecuaciones:
[pic]
Y finalmente: [pic]

Fase

La fase inicial [pic]también puede ser calculada a partir de los mismos valores iniciales x0 y v0:
Dividiendo v0 = − ωAsinφ entre x0 = Acosφ se obtiene [pic]y finalmente [pic]

Energía del movimiento armónico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzasconservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (Ec) permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:
[pic]
Esta última magnitud Em recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza(esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:
(6) [pic]
La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento.
Finalmente, al...