Forma Canonica Observable

1.

Forma can´nica observable o

Consid´rese el siguiente sistema de tercer orden e

D3 y + a2 D2 y + a1 Dy + a0 y = b3 D3 u + b2 D2 u + b1 Du + b0 u

dividiendo entre D3 y coleccionandot´rminos. e

y = b3 u +

1 1 1 (b2 u − a2 y) + 2 (b1 u − a1 y) + 3 (b0 u − a0 y) D D D { [ ]} 1 1 (b2 u − a2 y) + (b1 u − a1 y) + (b0 u − a0 y) D D

1 y = b3 u + D

Figura 1: diagrama anal´gico dela forma can´nica observable o o

Del diagrama anal´gico mostrado en la figura 1 se define las salidas de los integradores o como variables de estado y adem´s es posible determinar sus derivadas. ay = x1 + b3 u

x1 = x2 + b2 u − a2 y ˙ x1 = −a2 x1 + x2 + (b2 − a2 b3 ) ˙

x2 = x3 + b1 u − a1 y ˙ x2 = −a1 x1 + x3 + (b1 − a1 b3 )u ˙

x3 = b 0 u − a 0 y ˙ x3 = −a0 x1 + (b0 − a0 b3 )u ˙ Esentonces posible obtener las ecuaciones de estado y salida, las cuales son mostradas por las siguientes expresiones.        x1 ˙ −a2 1 0 x1 b2 − a2 b3        ˙  x2  =  −a1 0 1   x2 +  b1 − a1 b3  x3 ˙ −a0 0 0 x3 b0 − a0 b3  x1 [ ]   y = 1 0 0  x2  + b 3 u x3 

(1)

(2)

Una ventaja de ´ste metodo es la simplicidad de la matriz A y B que pueden ser e escritasdirectamente de la ecuaci´n diferencial del sistema, la matriz A contiene 1 en o la superdiagonal y el negativo de los coeficientes aparece en la primer columna. Los elementos de la matriz B tienen unpatr´n sistem´tico y simple. Este procedimiento o a puede ser generalizado para sistemas de cualquier orden.

Ejemplo Sea la funci´n de transferencia o

H(s) =

Y (s) 3s4 + 2s3 + s2 + s + 9 = 4 U(s) s + s3 + 7s2 + 5s + 10

La cual se puede acomodar de la forma

D4 y + D3 y + 7D2 y + 5Dy + 10y = 3D4 u + 2D3 u + D2 u + Du + 9u

Dividiendo entre D4 y coleccionando t´rminos e

y = 3u +1 1 1 1 (2u − y) + 2 (u − 7y) + 3 (u − 5y) + 4 (9u + 10y) D D D D { [ ]}} 1 1 (u − 7y) + (u − 5y) + (9u + 10y) D D

1 y = 3u + D

{

1 (2u − y) + D

De la ecuaci´n anterior se puede...