forma polar y exponencial de un número complejo
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Publicado: 7 de septiembre de 2014
Forma polar y exponencial de un número complejo
En la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el producto de números complejos, ni tampoco para la división.
En el casodel producto recordemos la fórmula utilizada para calcular la multiplicación:
El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas. Parasolventar este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas. Veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para resolver este problema. Podemos asignarle a cada número complejo Z = a +bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto Z con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las X, que será denotado por θ.
Nota: El ángulo θse mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. Se puede expresar en unidades de grados o radianes.
De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se haformado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es:
igual al módulodel complejo Z. Esto es:
Usando conocimientos de trigonometría en el triangulo anterior, se demuestran las relaciones
Estas fórmulas reciben el nombre de Fórmulas de cambio decoordenadas polares a cartesianas.
Está claro que si conocemos el argumento principal de Z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener suscoordenadas cartesianas
Se tiene entonces la representación de Z en Forma Polar:
Si se conocen las coordenadas cartesianas de Z = a + bi, entonces |Z| y θ se calculan de acuerdo a las formulas:
llamadas fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares.
Ejemplo. Número complejo en el primer cuadrante.
Hallar la Forma Polar del complejo Z = 2 + 2i, y representarlo...
En la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el producto de números complejos, ni tampoco para la división.
En el casodel producto recordemos la fórmula utilizada para calcular la multiplicación:
El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas. Parasolventar este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas. Veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para resolver este problema. Podemos asignarle a cada número complejo Z = a +bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto Z con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las X, que será denotado por θ.
Nota: El ángulo θse mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. Se puede expresar en unidades de grados o radianes.
De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se haformado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es:
igual al módulodel complejo Z. Esto es:
Usando conocimientos de trigonometría en el triangulo anterior, se demuestran las relaciones
Estas fórmulas reciben el nombre de Fórmulas de cambio decoordenadas polares a cartesianas.
Está claro que si conocemos el argumento principal de Z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener suscoordenadas cartesianas
Se tiene entonces la representación de Z en Forma Polar:
Si se conocen las coordenadas cartesianas de Z = a + bi, entonces |Z| y θ se calculan de acuerdo a las formulas:
llamadas fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares.
Ejemplo. Número complejo en el primer cuadrante.
Hallar la Forma Polar del complejo Z = 2 + 2i, y representarlo...
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