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Investigación de Matemáticas

Tema:
Geometría Analítica

Nombre:


Curso:
6to

Paralelo:

Circunferencia
Sea O un punto del plano (centro de la circunferencia) y sea “ r ” un número real Positivo (radio de la circunferencia). Se define la circunferencia como el conjunto de puntos P(x, y) tal que la distancia de P a O es igual a
“ r ”. Es decir:
Circunferencia = {P(x, y) / d(P,O)= r}
Ecuación canonica de la circunferencia
P(x, y)O(h, k )

La distancia entre los puntos P(x, y) de la circunferencia y el punto
C(h,k) , la cual denotamos como “ r ”, está dada por r = (x − h)2 + ( y − k)2 ,
entonces, tenemos:
(x − h)2 + ( y − k)2 = r 2 Ecuación canónica de una
circunferencia. Para r 2 > 0 .
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por
ecuación:
x2 + y2 = r 2
Es decir, unacircunferencia con centro O(0,0) , el origen:

Despejando y , obtenemos las ecuaciones de las semicircunferencias
superior e inferior.
Ejemplo
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el puntoO(4,2)
y radio 3

Ahora, en la ecuación canónica del ejemplo anterior
(x − 4)2 + ( y − 2)2 = 32 , al elevar al cuadrado y reducir términos semejantes se
obtiene:

Se puede decir,entonces que la ecuación de una circunferencia tendrá
la forma:
x2 + y2 +C´x + D´y + F´= 0
O también:
Ax2 + Ay2 + Cx + Dy + F = 0
Esta última ecuación es llamada ecuación general de una
Circunferencia.

Parábola
Sea l una recta(directriz de la parábola) y sea F un punto(foco de la parábola). La parábola se define
como el conjunto de puntos P(x, y) tal que su distancia al
punto F es igual asu distancia a la recta l . Es decir:
Parábola ={P(x, y) / d(P, F) = d( p,l)}
Ecuación canonica
Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) y la recta l tiene
ecuación y = − p con p > 0. Observe la gráfica:

Observe que d(P,F) =y que d(P,l) = y + p .
Igualando distancias y resolviendo:

Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene
coordenadas (0,0). A la rectaperpendicular a la directriz, que contiene al
vértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la parábola
anterior el eje focal es el eje y .
Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba.
Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y
que tiene como extremos los dos puntos de la parábola, se denomina lado
recto y tiene una medida de 4 p .Suponga ahora que el vértice no es el origen, que tenemos V (h, k) ,
entonces su ecuación sería:
(x − h)2 = 4 p( y − k)

Teniendo el siguiente grafico:

Para otros casos, tenemos:
(x − h)2 = −4 p( y − k)
Una parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abajo.

Si la parábola tiene ecuación ( y − k)2 = 4 p(x − h) , Su eje focal será
horizontal y además será cóncava hacia la derecha:Si la parábola tiene ecuación ( ) 4 ( ) y − k 2 = − p x − h . Su eje focal
será horizontal , pero ahora será cóncava hacia la izquierda:

La ecuación general de esta cónica será de la forma
Ax2 + By2 + Cx + Dy + F = 0 con A = 0 o B = 0 pero no ambos. Es decir
tendremos ecuaciones de la forma Ax2 + Cx + Dy + F = 0 o de la forma
By2 + Cx + Dy + F = 0, según sea la dirección del eje focal.
Omás simplemente x2 + C´x + D´y + F´= 0
y2 + C´x + D´y + F´= 0

Ejemplo 1
Graficar la parábola que tiene por ecuación 4x 2 − 20x − 24y + 97 = 0 . Indique
coordenadas del vértice, coordenadas del foco, ecuación de la recta directriz.
SOLUCIÓN:
Despejando la variable cuadrática para completarle cuadrados y agrupando, tenemos:

Se deduce...