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Capítulo 6

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
6.1.

Definiciones básicas

Definición 6.1 La derivada de una función f con respecto a la variable x es la función f 0 definida por
f (x + h) − f (x)
h→0
h

f 0 (x) = l´
ım
para todo x donde el límite exista.

Observación 6.1 Note que Dom f 0 ⊆ Dom f , donde Dom f 0 =

½
¾
x ∈ R/ l´ f (x+h)−f (x) existe
ım
h
h→0

Observación 6.2 Si f 0 (x)existe entonces se dice que f tiene derivada o es diferenciable en x.
Observación 6.3 La derivada tiene también las siguientes notaciones:
dy df d
˙
,
,
f (x) , Dx f, y
dx dx dx
Geométricamente, la definición anterior se puede representar de la siguiente manera:
Dada la curva y = f (x), consideremos los siguientes puntos: P1 : (x1 , f (x1 )), P2 : (x2 , f (x2 )) y sea Ls la
recta secanteque pasa por esos puntos y corta la curva y = f (x), según lo muestra el siguiente gráfico:
y0 ,

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Si designamos por (x0 , y0 ) al punto (x1 , y1 ) y (x0 + h, f (x0 + h)) al punto (x2 , y2 ), entonces, el límite anterior
antes definido puede entenderse graficamente como:

Note que la pendiente de esta recta secante es:m=

f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
=
x0 + h − x0
h

Luego, el siguiente gráfico muestra la aproximación de el punto (x0 + h, f (x0 + h)), al punto (x0 , y0 ) cuando h
tiende a ser cero:

Por lo tanto, la definición de límite, implica que las rectas secantes se aproximan a una recta tangente que
pasa por (x0 , y0 ), cuya pendiente es
f (x0 + h) − f (x0 )
m = l´
ım
h→0
hNote que la derivada de la función y = f (x) en x0 , f 0 (x0 ) , es la pendiente de la recta tangente a la curva en
el punto (x0 , f (x0 )). A partir de este hecho, se dice que el valor f 0 (x0 ) es la pendiente de la curva y = f (x) en
el punto (x0 , f (x0 )).
Ahora calcularemos algunas derivadas:

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Ejemplo 6.1 Derivadade f (x) = 1.
Por definición:

f (x + h) − f (x)
1−1
0
= l´
ım
= l´
ım = l´ 0 = 0
ım
h→0
h→0 h
h→0 h
h→0
h

f 0 (x) = l´
ım

d
Entonces f 0 (x) = dx (1) = 0.
Recuerde que f (x) = 1, para todo x ∈ R.

Ejemplo 6.2 Derivada de f (x) = x
Por definición:
f (x + h) − f (x)
x+h−x
h
= l´
ım
= l´
ım = l´ 1 = 1
ım
h→0
h→0
h→0 h
h→0
h
h

f 0 (x) = l´
ım
Entonces f 0(x) =

d
dx

(x) = 1.

Ejemplo 6.3 Derivada de f (x) = ax + b
Por definición:
f (x + h) − f (x)
a (x + h) + b − (ax + b)
ax + ah + b − ax − b
= l´
ım
= l´
ım
=
h→0
h→0
h
h
h
ah
= l´ a = a
ım
= l´
ım
h→0 h
h→0

f 0 (x) =

l´
ım

h→0

Entonces f 0 (x) =

d
dx

(ax + b) = a.

Ejemplo 6.4 Derivada de f (x) =

1
x

Por definición:

1
−1
f (x + h) − f (x)0
= l´ x+h x =
ım
h→0
h→0
h
h
0
entonces, como el límite por evaluación directa es una forma indeterminada, entonces sumaremos y simplificaremos las fracciones para resolver el límite:

ım
f 0 (x) = l´

x−(x+h)

1
−1
f (x + h) − f (x)
x(x+h)
ım
f (x) = l´
= l´ x+h x = l´
ım
ım
=
h→0
h→0
h→0
h
h
h
1
−h
−1
= l´
ım
=− 2
= l´
ım
h→0 x (x + h) h
h→0 x (x + h)
x¡1¢
d
1
Entonces f 0 (x) = dx x = − x2 .
√
Ejemplo 6.5 Hallar la derivada de f (x) = 1 + 4 − x. para x < 4 y determine el valor de f 0 (x) para x = 2.
0

Para determinar f 0 (x) utilizamos la definición:
dy
dx

=
=
=
=
=

p
¡
¢
√
1 + 4 − (x + h) − 1 + 4 − x
f (x + h) − f (x)
l´
ım
= l´
ım
=
h→0
h→0
h
h
√
√
√
√
1+ 4−x−h−1− 4−x
4−x−h− 4−x
= l´
ım
=
l´
ımh→0
h→0
h
h
¡√
¢ ¡√
¢
√
√
4−x−h− 4−x
4−x−h+ 4−x
¡√
¢
√
=
l´
ım
h→0
h 4−x−h+ 4−x
4−x−h−4−x
−h
¢ = l´ ¡√
¢ =
√
√
l´ ¡√
ım
ım
h→0
h→0
4−x−h+ 4−x h
4−x−h+ 4−x h
−1
−1
¢= √
√
l´ ¡√
ım
h→0
2 4−x
4−x−h+ 4−x

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¢
¡
√
d
−1
Entonces f 0 (x) = dx 1 + 4 − x = 2√4−x .
0
Para determinar el...