formulario calculo multivariable

Universidad de la Frontera

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Facultad de Ingenier´a, Ciencias y Admistracion
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Departamento de Matematica

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Formulario Calculo Multivariable (IME186)
3. Alternativa III: Dadas dos rectas se consideran el vector director y un punto en cada recta.

1. Producto escalar

{d = (d1, d2, d3),
Sean a = (a1, a2, · · · , an), b = (b1, b2, · · · , bn). El producto escalar de los vectoresa y b es el
numero
´
a ◦ b = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn
1. a ◦ a = ||a||2

2. a ◦ b = ||a|| ||b|| cosθ



d1
s1

M=

P (x1, y1, z1)}

d2
s2

d1
d2
s2
M ∗ =  s1
x1 − x0 y1 − y0

d3
s3



d3

s3
z1 − z0

se tiene lo siguiente:
´
rango de M rango de M ∗ posicion de las rectas
2
3
se cruzan sin cortarse
2
2
secantes
1
2
paralelas
1
1
coincidentesEl producto vectorial o cruz de los vectores a y b es:
j
a2
b2

{s = (s1, s2, s3),

se forman las matrices

3. a · b = 0 ⇐⇒ a ⊥ b

2. Producto vectorial

i
a × b = a1
b1

P (x0, y0, z0)},

k
a3 = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
b3

1. a × b = −b × a

4. a × b = 0 ⇐⇒ a b

2. a × b perpendicular a a y b

5. ||a × b|| = ||a|| ||b|| ⇐⇒ a⊥b

3. ||a × b|| = ||a||||b|| sen θ

´
´
6. ||a × b|| = area del paralelogramo

7. El plano
´
La ecuacion general del plano tiene la forma:
ax + by + cz + d = 0

3. Triple producto escalar
Para tres vectores a, b y c del espacio, su ”triple producto escalar” (T.P.E) viene dado por
a1
a ◦ ( b × c ) = b1
c1

a2
b2
c2

´
Para conocer su ecuacion se necesita conocer un punto P0(x0, y0, z0) del plano yun vector
´
normal al plano n = (n1, n2, n3). Su ecuacion se halla resolviendo
(x − x0, y − y0, z − z0) · n = 0

a3
b3
c3

Distancia punto plano: Sea P punto en el plano, n el vector normal y Q el punto exterior
al plano
−→

|| P Q ◦ n||
d=
||n||

1. a ◦ ( b × c ) = 0 los vectores son coplanarios
2. |a ◦ ( b × c )| = volumen de la caja

Distancia punto recta: Sea P punto en larecta, d el vector director y A el punto exterior
a la recta

´
4. Proyeccion vectorial

−→

d=

´
Se llama proyeccion vectorial del vector a sobre el vector b = 0 al vector
a·b

proyb( a ) =

||b||2

8. Posiciones de dos planos
Para los planos a1x + b1y + c1z = d1 y a2x + b2y + c2z = d2 se tiene:
a 1 b 1 c 1 d1
planos coincidentes
1. = = =
a 2 b 2 c 2 d2
a 1 b 1 c 1 d1
2.= = =
planos paralelos y distintos
a 2 b 2 c 2 d2
3. En cualquier otro caso los planos se intersectan en una recta

a·b
||b||

´
´
La componente y la proyeccion se encuentran ligadas por la relacion
proyb( a ) =

b
||b||

||d||

b

Se llama componente del vector a a lo largo del vector b al numero
´
compb( a ) =

||d × P A ||

compb( a )
9. Posiciones de recta y plano5. La recta en el espacio

Con la recta

A1x + B1y + C1Z = D1
A2x + B2y + C2z = D2

Sean P0 = (x0, y0, z0) punto en la recta y d = (d1, d2, d3) el vector director:



y el plano mx + ny + pz = q se conforman las matrices


A1 B1 C1
M = A2 B2 C2
mnp

´
1. ecuacion vectorial X = P0 + td X = (x, y, z )
´
´
2. ecuacion parametrica x = x0 + td1, y = y0 + td2, z = z0 + td3
x− a1 y − a2 z − a3
´
=
=
3. ecuacion cartesiana
d1
d2
d3
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
´
4. ecuacion general
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0



y



A1 B1 C1 D1
M ∗ = A2 B2 C2 D2
mnp q

´
1. rang (M ) = 2, rang (M ∗) = 2, entonces, la recta esta contenida en el plano.
´
2. rang (M ) = 2, rang (M ∗) = 3, entonces, la recta es paralela al plano, y no contenida en el.
3.rang (M ) = 3, rang (M ∗) = 3, entonces, se dice que la recta es secante al plano (lo corta
en un punto).
Alternativa I

6. Posiciones de rectas

d vector director de la recta, A punto en la recta y n el normal del plano, entonces:
1. Alternativa I: Si la recta r viene determinada por A(x1, y1, z1) y el vector u = (u1, u2, u3), y
´
la recta s por B (x2, y2, z2) y el vector v = (v1, v2,...