Formulario Dsp

Formulario
Procesamiento Digital de Se˜ales n

M

αn =
n=0 ∞

1 − αM +1 1−α 1 , 1−α |a| < 1

(1) (2)

αn =
n=0

sen(A ± B) = sen(A) cos(B) ± cos(A) sen(B) cos(A ± B) = cos(A) cos(B) sen(A) sen(B) 1 cos2 (A) = (1 + cos(2A)) 2 1 sen2 (A) = (1 − cos(2A)) 2 1 sen(A) sen(B) = (cos(A − B) − cos(A + B)) 2 1 cos(A) cos(B) = (cos(A − B) + cos(A + B)) 2 1 sen(A) cos(B) = (sen(A − B) + sen(A+ B)) 2 A 1 sen = (1 − cos(A)) 2 2 cos 1 A (1 + cos(A)) = 2 2 ejω = cos(ω) + j sen(ω) ejω + e−jω cos(ω) = 2 ejω − e−jω sen(ω) = 2j

(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)

1

Cuadro 1: Transformada z de algunas funciones comunes Se˜al x(n) n δ(n) u(n) an u(n) nan u(n) −(an )u(−n − 1) −n(an )u(−n − 1) cos(ω0 n)u(n) sen(ω0 n)u(n) an cos(ω0 n)u(n) an sen(ω0 n)u(n) Transformada z,X(z) 1 1 1 − z −1 1 1 − az −1 az −1 (1 − az −1 )2 1 1 − az −1 az −1 (1 − az −1 )2 1 − z −1 cos ω0 1 − 2z −1 cos ω0 + z −2 z −1 sen ω0 1 − 2z −1 cos ω0 + z −2 1 − az −1 cos ω0 1 − 2az −1 cos ω0 + a2 z −2 az −1 sen ω0 1 − 2az −1 cos ω0 + a2 z −2 ROC Plano z |z| > 1 |z| > |a| |z| > |a| |z| < |a| |z| < |a| |z| > 1 |z| > 1 |z| > |a| |z| > |a|

2

Propiedad x(n) x1 (n) x2 (n) a1 x1 (n) + a2 x2 (n)x(n − k) an x(n) x(−n) x(n) Re{x(n)} Im{x(n)} nx(n) x1 (n) ∗ x2 (n) X(z −1 ) X(a−1 z) z −k X(z) a1 X1 (z) + a2 X2 (z) X2 (z) por lo menos ROC1 ∩ROC2 como la de X(z) excepto z = 0 si k > 0 y z = ∞ si k < 0 |a|r2 < |z| < |a|r1 1 1 < |z| < r1 r2 ROC Incluye ROC Incluye ROC r2 < |z| < r1 Por lo menos ROC1 ∩ROC2 Por lo menos la intersecci´n de o ROC1 y la de X2 (z −1 ) x(0) = l´ X(z) ım
z→∞

Cuadro2: Propiedades de la transformada z Dominio n Dominio z ROC ROC: r2 < |z| < r1 ROC1 ROC2 X(z) X1 (z)

Notaci´n o

Linealidad

Desplazamiento en n

Escalado en z

Reflexi´n en n o

Conjugaci´n o

3 rx1 x2 (n) = x1 (n) ∗ x2 (−n) Rx1 x2 = X1 (z)X2 (z −1 ) Si x(n) es causal x1 (n)x2 (n)
∞

Parte real

Parte imaginaria

Derivaci´n en z o

Convoluci´n o

X(z) 1 X(z) + X(z) 2 1X(z) − X(z) 2 dX(z) −z dz X1 (z)X2 (z)

Correlaci´n o

Teorema del valor inicial

Multiplicaci´n o

X1 (v)X2
C

Por lo menos r1l r2l < |z| < r1u r2u X1 (v)X2
C

Relaci´n de Parseval o
n=−∞

x1 (n)x2 (n) =

1 2πj 1 2πj

z −1 v dv v 1 v −1 dv v

Cuadro 3: Propiedades de la DFT Propiedad Notaci´n o Periodicidad Linealidad Reflexi´n temporal o Desplazamiento temporal circularDesplazamiento frecuencial circular Conjugaci´n compleja o Convoluci´n circular o Correlaci´n circular o Multiplicaci´n de dos secuencias o Teorema de Parseval
n=0

Dominio temporal Dominio frecuencial x(n), y(n) x(n) = x(n + N ) a1 x1 (n) + a2 x2 (n) x(N − n) x((n − l))N x(n)ej2πln/N x(n) x1 (n) N x2 (n) x(n) N y(−n) x1 (n)x2 (n)
N −1

x(n)y(n)

X(k), Y (k) X(k) = X(k + N ) a1 X1 (k) + a2 X2(k) X(N − k) X(k) e−j2πkl/N X((k − l))N X(N − k) X1 (k)X2 (k) X(k)Y (k) 1 X (k) N X2 (k) N 1 N −1 1 X(k)Y (k) N k=0

Cuadro 4: Simetr´ en filtros FIR de fase lineal ıas Simetr´ ıa M par Sim´trica h(n) = h(M − 1 − n) e
M 2

Antisim´trica h(n) = −h(M − 1 − n) e Hr (0) = 0 no apto como filtro paso bajos

−1

Hr (0) = 2
k=0

h(k)

M impar Hr (0) = h

M −1 2

M −3 2

+2
k=0

h(k)Hr (0) = Hr (π) = 0 no apto como filtro paso bajos o altos

Cuadro 5: Funciones utilizadas como ventanas. Ventana Rectangular h(n), 0 ≤ n ≤ M − 1 Ancho Pico l´bulo o lobular lateral [dB] 4π/M 8π/M 8π/M 8π/M −13 −27 −32 −43

1 −1 2 n − M2 Bartlett (triangular) 1− M −1 2πn Hamming 0,54 − 0,46 cos M −1 1 2πn Hanning 1 − cos 2 M −1

4

Cuadro 6: Descomposici´n de filtros FIR en P (ω) y Q(ω). oSim´trico e Antisim´trico e h(n) = h(M − 1 − n) h(n) = −h(M − 1 − n) Caso 3 Q(ω) = sen(ω)
(M −3)/2

M Impar Caso 1

P (ω) =
k=0 (M −1)/2

c(k) cos ωk ˜ = 2h(0) = 4h(1) M −1 −k , 2 M −3 2 ω 2 2≤k≤ M −5 2

Q(ω) = 1 a(k) cos ωk
k=0 −1 h M2 −1 2h M2 − k

P (ω) = k=0 −1 k = 1, 2, . . . , M2 1 c(0) + c(2) = 2h ˜ ˜ 2 Caso 4 Q(ω) = sen
M 2

a(k) =

M −3 c ˜ 2 M −5 c ˜ 2 c(k − 1) − c(k...