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Formulario de Prec´
alculo.

5. Leyes de los logaritmos.
a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)

1.

Los N´
umeros.

1. Leyes de los exponentes y radicales.
m n

a) a a = a
d)

n

a
b

g) a1/n
j)

m+n

m n

b) (a ) = a

n

mn

a
bn
√
= na

a
= am−n
an
√
h) am/n = n am
√
n
a
a
k) n = √
n
b
b

√
√ √
n
n
ab = n a b

n n

c) (ab) = a b

e)= loga (P ) − loga (Q)

c) loga (Qn ) = n loga (Q)
n

m

=

P
Q

b) loga

d ) aloga (x) = x

1
an
√ m
= ( n a)

f ) a−n =

e) loga (ax ) = x

i) am/n

f ) loga (1) = 0

l)

√
n

m

a=

g) aloga (a) = 1

√
a

mn

h) log(x) = log10 (x)

2. Productos Notables.

i) ln(x) = loge (x)
2

a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y
2

2

2b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y

j ) Cambio de base:

2

c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3

logb (Q)
logb (a)

loga (Q) =

2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas

2

d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2
2

e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2
3

f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3

6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.

3g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3

a) La Ecuaci´
on Cuadr´
atica: ax2 + bx + c = 0 tiene
soluciones:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
2
El n´
umero b −4ac se llama discriminante de la ecuaci´on.
i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ıces son reales y diferentes.
ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ıces son reales e iguales.
iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ıces son complejas conjugadas.

4

h) (x + y) = x4 +4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4
5

j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5
k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5
3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces:
n

(x + y)n =
r=0

Nota:

n
r

= n Cr =

n n−r r
x
y
r

b) Para la Ecuaci´
on C´
ubica: x3 + ax2 + bx + c = 0sean:

n!
r!(n − r)!

Q=

4. Factores Notables.
a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y)
b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 )
3

3

2

S=

d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2
2

3

3

e) x − y = (x − y) (x + y)
2

f ) x − y = (x − y) x + xy + y

2

g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2
4

4

2

h) x − y = (x − y) (x +y) x + y

x3 = −

2

i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4

j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4

k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2
l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2

m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2

R+

R=

9ab − 27c − 2a3
54

Q3 + R 2 ,

T =

Entonces las soluciones son:
a
x1 =S + T −
3
S+T
a
x2 = −
+
+
2
32

c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y )
2

3

3b − a2
,
9

x2 − xy + y 2

x2 − xy + y 2

x2 + 2 xy + 2 y 2
1

S+T
a
+
2
3

−

3

R−

√
(S − T ) 3
2
√
(S − T ) 3
2

Q3 + R 2

i
i

El n´
umero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuaci´on.
i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ız real y dos son complejas conjugadas.
ii) Si Q3 + R2 = 0, lasra´ıces son reales y por lo menos dos son iguales.
iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ıces son reales y diferentes.

3.

Funciones Trigonom´
etricas.

3.1.

Relaciones
nom´
etricas.
csc(A) =

entre

1
sen(A)

Funciones

cos3 (A) =

1
sec(A) =
cos(A)

sec (A) − tan (A) = 1

sen(A)
cos(A)

csc2 (A) − cot2 (A) = 1

tan(A) =

−

1
2

cos(2A)

1
2

+

1
2

cos(2A)3
4

sen(A) −

sen (A) =

1
2

cos2 (A) =
sen3 (A) =

4.

1
4

1
8

+

sen5 (A) =

5
8

sen(A) −

5
16

sen(3A) +

1
16

sen(5A)

cos5 (A) =

5
8

cos(A) +

5
16

cos(3A) +

1
16

cos(5A)

cos(2A) +

cos(4A)

2

3.3.

sen(3A)

Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonom´
etricas.

sen(A) + sen(B) = 2 sen

A+B
2...