Formulario

DEFINICION
Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
1.
2. donde k es un escalar.Transformación lineal nula

Transformación lineal identidad

Homotecias
con
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones

PROPIEDADES DE LASTRANSFORMACIONES LINEALES:
Núcleo (kernel) y recorrido
Teorema: Si   T: VW   es una transformación lineal entonces:
  (a) T(0)=0
  (b) T(-v)=-T(v) para todos los v en V
  (c) T(v-w)=T(v)-T(w) para todos losv y w en V
Demostración. Sea v cualquier vector en V. debido a que 0v=0 se tiene:
                                                                  T (0)= T (0v)= 0T (v)= 0
Lo cual prueba (a).También T (-v)= T ((-1) v)= (-1) T (v)= T (v), lo cual prueba (b).
Por último v-w=v+ (-1) w; por tanto,
                                T (v-w)= T (v+ (-1) w)
                                           =T (v)+ (-1) T (w)
                                            =T (v)-T (w)

 REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
 
Si T es una función de en definida por endonde A es una matriz de , y dado que la condición corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices y la condición es también una propiedad de la multiplicaciónde matrices . Entonces T es una transformación lineal. Y se puede concluir que:

Toda matriz A de define una transformación lineal de en .Ahora consideremos unatransformación lineal T de en ; si aplicamos esta transformación a los vectores base de , obtenemos los siguientes vectores:   |
 
 
Si construimos una matriz ATcuyas columnas sean los vectores ; AT define una transformación lineal de en tal que si
para i = 1, 2, . . . , n.
Entonces...