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DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS
Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS
INGENIERÍA INDUSTRIAL
3º Curso
ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES II
CURSO 2004/2005
FORMULARIO BÁSICO
MICROMECÁNICA
Densidad de una lámina unidireccional
ρ = Vf ⋅ ρ f + Vm ⋅ ρ m
Constantes elásticas de una lámina unidireccional
1.1. - Módulo de elasticidad endirección de las fibras
E1 = Vf ⋅ E f + [1 − Vf ] ⋅ E m
Módulo de elasticidad en dirección transversal a las fibras
- Fórmula básica
Em ⋅ Ef
E2 =
Vf ⋅ E m + (1 − Vf ) ⋅ E f
- Efecto de concentración de tensiones
E ' m ⋅E f
,
E2 =
Vf ⋅ E ' m +(1 − Vf ) ⋅ E f
E'm =
Em
1 −ν m
2
- Ecuación de Halpin-Tsai
1 + ξ 1 ⋅ η1 ⋅ V f
Ef − Em
E2 = Em ⋅
, η1 =
E f + ξ1 ⋅ E m
1 − η1 ⋅ V f
ξ1≡ Eficiencia del refuerzo
( parámetro experimental)
1 ≤ ξ1 ≤ 2
- Coeficiente de Poisson principal
ν 21 = Vf ⋅ ν f + (1 − Vf ) ⋅ ν m
Módulo de elasticidad a cortadura plana
G 12 =
Gm ⋅ Gf
Vf ⋅ G m + (1 − Vf ) ⋅ G f
Constantes elásticas de una lámina de fibras largas con
orientación aleatoria
1.2.
Módulo de elasticidad
3
5
E = ⋅ E1 + ⋅ E 2
8
8
Módulo de elasticidad acortadura plana
1
1
G = ⋅ E1 + ⋅ E 2
8
4
2
Constantes elásticas de una lámina de fibras cortas alineadas
1.3.
Módulo de elasticidad en dirección de la fibra
- Fórmula básica
E 1 = η L ⋅ E f ⋅ Vf + E m ⋅ (1 − Vf )
⎛1
⎞
tanh⎜ ⋅ β ⋅ L ⎟
⎝2
⎠
ηL = 1 −
⎛1
⎞
⎜ ⋅ β ⋅ L⎟
⎝2
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
2 ⋅ Gm
⎜
⎟
β=
⎜
⎛R ⎞⎟
⎜ E f ⋅ r 2 ⋅ ln⎜ ⎟ ⎟
⎝ r ⎠⎠
⎝
-
2
Ecuación deHalpin-Tsai
E1 =
ξ=
1
L
r
ηL =
E m ⋅ (1 + ξ ⋅ η L ⋅ Vf
1 - η ⋅ Vf
)
Ef − Em
Ef + ξ ⋅ Em
Constantes elásticas de una lámina de fibras cortas con
orientación aleatoria
Módulo de elasticidad
E = η o ⋅ η L ⋅ E f ⋅ Vf + E m ⋅ (1 − Vf )
ηo= 1(lámina unidireccional, fibras a 0º)
ηo= 0(lámina unidireccional, fibras a 90º)
ηo= 3/8 (distribución aleatoria de fibras en 2D)ηo= 1/5 (distribución aleatoria de fibras en 3D)
3
Constantes elásticas de un material reforzado por partículas
1.1.
Módulo de elasticidad
2
Vf
E=
1
3
1 − Vf
1.2.
⋅ Em
2 ⎞
⎛
+ ⎜⎜1 − V 3 ⎟⎟ ⋅ E m
f
⎛ E ⎞ ⎝
⎠
⋅ ⎜1 − m ⎟
⎜
E p ⎟⎠
⎝
3
Módulo de elasticidad a cortadura
2
Vf
G=
1
3
1 − Vf
⋅ Gm
2 ⎞
⎛
+ ⎜⎜1 − V 3 ⎟⎟ ⋅ G m
f
⎛ G ⎞ ⎝⎠
⋅ ⎜1 − m ⎟
⎜
G p ⎟⎠
⎝
3
Resistencia a tracción en dirección de las fibras de una lámina
unidireccional
ε < εr
1.1. CASO 1: r f
− V f < V f crítico
m
X = σ rm ⋅ (1 − V f )
−
V f > V fcrítico
X = σ r f ⋅ V f + Em ⋅ ε r f ⋅ (1 − V f )
CASO 2: ε rm < ε rf
−
V f < V f crítico
−
V f > V fcrítico
X = E f ⋅ ε rm ⋅ V f + σ rm ⋅ (1 − V f )
X = σ rf ⋅V fResistencia a compresión en dirección de las fibras de una
lámina unidireccional.
1.1.
Modo de curvado en extensión o desfasado (para Vf bajos)
X' = 2 ⋅ Vf ⋅
Vf ⋅ E m ⋅ E f
3 ⋅ (1 − Vf )
Modo de curvado en cortadura o en fase (para Vf altos)
X' =
Gm
1 − Vf
4
Modelo de Ewins y Hamm para el modo de fallo por cortadura
(para Vf altos)
(
X' = 2 ⋅ Vf ⋅ τrf + (1 − Vf ) ⋅τrm
)
Resistencia mecánica a tracción en dirección perpendicular a
las fibras
1.1.
CASO 1. Unión fibra-matriz débil.
⎛
Vf ⎞
⎟ (para una ordenación de fibras cuadrada)
Y = σ rm ⋅ ⎜⎜1 − 2 ⋅
π ⎟⎠
⎝
CASO 2. Unión fibra-matriz fuerte.
(
)
1
⋅ σ rm − σ rmax
Kσ
(1 − ν m )
1
Y=
⋅
⋅ σ rm − E m ⋅ ε rmax
K σ (1 + ν m ) ⋅ (1 − 2 ⋅ ν m )
Y=
(
(criterio de tensiónmáxima)
)
(criterio
máxima)
5
de
deformación
MACROMECÁNICA DE LA LÁMINA
1. Matriz de rigidez de una lámina unidireccional en ejes
locales
⎡Q11 Q12
[Q] = ⎢⎢Q12 Q22
⎢⎣ 0
0
E1
⎡
⎢1 − ν ⋅ν
12
21
0 ⎤ ⎢
ν
E
⋅
⎥
0 ⎥ = ⎢ 12 1
⎢1 − ν 12 ⋅ν 21
QSS ⎥⎦ ⎢
0
⎢
⎣
ν 21 ⋅ E2
1 − ν 12 ⋅ν 21
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
G12 ⎥
⎥
⎦
E2
1 − ν 12 ⋅ν 21
0
Matriz de...
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