Formulario

FORMULAZO

1º PARCIAL
MAXIMOS Y MINIMOS (3D)
Sea:
P0(X0,Y0) Æ Punto Crítico

Fxx
∆H =
Fyx
1. Si

∆H

2. Si

∆H

3. Si

∆H

4. Si

∆H

Po
Po
Po
Po

> 0 ,

Fxx Po < 0 Æ Máximo Relativo

> 0 ,

Fxx Po > 0 Æ Mínimo Relativo

=0

∂w
∂y

=0

ξ=

1.
2.

3

dr
dt

⋅

dr
dt

(

d2r
dt 2

× ddt 3r
3

× ddt 2r
2

dr
dt

=0

V =

Se resuelve el sistema
para obtener los puntos
críticos

− λI

λ1 , λ2 , λ3
λ1, λ2 , λ3

V =T

)= 0
> 0 Æ Mínimo Relativo

aT =

< 0 Æ Máximo Relativo

=

dr
dt

Rapidez Æ

(∆ H

dr
dt

 f x = λg x g(x,y) = 0
∇ f = λ ∇g 
 f y = λg y

V =V =
ds
dt

× ddt 2r × ddtr

dr
dt

× ddt 2r
2

Fx = f x + λ g x = 0
Fλ = g = 0

dF =

F ( x, y, z ) = 0

ds
dt

d 2s
dt 2

T+

V2
R

V2
R

aT =

N

J

r '⋅ r ' '

ESCALAR

2

r'

ds =

s=∫

dt

dt

N=

=
B

B =T ×N

Normal
Rectifica

NOscular
T

CURVATURA DE UNA CURVA (1º Formula Frenet-Serret)

∴k =

dT
ds

=

Lim ∆ F ∂ F
;
∆y → 0 ∆y
∂z

Lim ∆ F
∆z → 0 ∆z

(ESCALAR)

ρ= r = x +y +z
2

r ⋅r = r = ρ

GRADIENTE DE FUNCION VECTORIAL

Py
Ry

dB
ds

x, y , z
u,v,w

u,v,w
x, y , z

vol.R
( ) = vol
.R
x, y, z
u ,v, w

xyz

hw =

ev =

∂r
∂w

∂r
∂u

hu

ew =

∂r
∂v

∂r
∂w

hw

hv

TRANSFORMACIONES INVERSAS
+ Vectores normales a lasuperficie (u,v,w)

∇u =

∂u
∂x

i + ∂∂uy j + ∂∂uz k

∇v =

∂v
∂x

i+

∂w
∂x

∂v
∂y

i+

j+

∂w
∂y

∂v
∂z

j+

k

∂w
∂z

k

H u = ∇u

Eu =

∇u
Hu

H v = ∇v

Ev =

∇v
Hv

H w = ∇w

Ew =

∇w
Hw

eu = E u
2

ev = E v
ew = E w

hu = ( H u ) −1
hv = ( H v ) −1
hw = ( H w )

J

−1

eu = hu ∇u
e v = hv ∇v
e w = hw ∇w

( )= h h h
x, y , z
u ,v, w

u v w

a = ( a ⋅ e u )e u + ( a ⋅ e v ) e v + ( a ⋅ e w ) e wF

+ Esféricas

e ρ = (cos θ sen φ , sen θ sen φ , cos φ )
e θ = ( − sen θ , cos θ , 0 )

DIVERGENCIA

e φ = (cos θ cos φ , sen θ cos φ , − sen φ )

div F = ∇ ⋅ F = Px + Q y + Rz

*

Fluido incompresible o campo solenoidal si:

div F = 0

J = ρ2senφ h ρ = 1 hθ = ρ sen φ hφ = ρ

+ Cilíndricas

divF = tr( gradF )

e r = (cosθ , senθ ,0)

LAPLACIANO

eθ = (− senθ , cosθ ,0)

∂ F ∂ F ∂ F
+
+
=0
∂x 2∂y 2 ∂z 2
2

≥0

eu =

2

Pz 

Qz 
Rz 

Qy

( ) = J( 1 )

eu = e v × e w e v = e w × eu e w = e u × e v

2

2

 Px

∇ F = Q x
 Rx


J

TRANSFORMACIONES ORTOGONALES

gradF = ∇F

r
r

J

xy

∇w =

2

TORSION (2º Formula Frenet-Serret)

Æ Radio de Torsión

∇ρ =

×

Xw
Yw
Zw

+ Factores de escala y vectores base

∇ F = ∇ ⋅ ∇F = div( grad F ) = 0

1
Æ Radio de curvatura
k

ξ=

k mide el cambiode dirección de la
curva

n=

x, y
u ,v

hv = ∂∂vr

VECTOR NORMAL A LA SUPERFICIE

dr
dv

( ) = areaR
areaR

hu = ∂∂ur

∂P
∂P
∂P
dz
dy +
dx +
dP =
∂z
∂y
∂x
∂Q
∂Q
∂Q
dy +
dz
dQ =
dx +
∂x
∂y
∂z
∂R
∂R
∂R
dR =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

dr
du

Xv
Yv
Zv

uvw
uv
VECTORES Y FACTORES DE ESCALA–TRANSFORMACIONES

r'

∆r

=

Xu
 x, y , z 
J
 = Yu
 u , v, w 
Zu
+ Punto singular J=0

∇ = ( ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z )VECTORES UNITARIOS Y PLANOS A UNA CURVA
dT
dT
dr
ds
dt
dt
dT
dT
dr
ds
dt
dt

= −ξ N

d2r
dt 2

Du F = (∇ P ⋅ u )i + (∇Q ⋅ u ) j + (∇ R ⋅ u ) k

FUNCIÓN VECTORIAL DE MODULO CONSTANTE
(FORMA UN CONO)
dr
dr
dr
dt
dt
dt

= kN

=

=

dV
dt

∆ r = r (t + ∆ t ) − r ( t )

Du F = ∇F ⋅ u

R

F = gradφ

DERIVADA DIRECCIONAL

r = ( x )i + ( y ) j + ( z ) k
F ( x , y , z ) = ( P )i + (Q ) j + ( R ) k

P Q
rotF = 0

∂F
∂F
∂F
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

Para:

Sean:

dr
ds

y

∂
∂z

Si:
+ Campo conservativo, campo irrotacional
+ Existe función potencial escalar:

dr
dt

d F = (dP )i + ( dQ ) j + (dR ) k

2º PARCIAL

=

dr

Lim ∆ F ∂ F
;
∆x → 0 ∆x ∂y

La solución de este
sistema da los
puntos criticos

Fy = f y + λg y = 0

=0

=

dr
dt

aN =

dV
dt

k

∂
∂y

rot F = ( R y − Q z , Pz − R x , Q x − Py )DIFERENCIAL TOTAL

f: Función Objetivo
g: Ecuación de condición
λ: Multiplicador de Lagrange

T = ξ1

)
)×

dr
dt

2

j

∂
∂x

φ = ∫ Pdx ∪ ∫ Qdy ∪ ∫ Rdz

a=

Æ

d r = r ' ( t ) dt
∂F
∂x

F = f + λg

dB
ds

rot F = ∇ × F =

d2r
dt 2

a=

DERIVADAS PARCIALES

R=

×

T

+ ECUACION DE LAGRANGE (Multiplicadores de Lagrange)
Sea

dT
ds

dr
dt

i

JACOBIANO

DIFERENCIAL

T=

)

× ddt 2r

2

MAXIMOS Y...