Formulas de cristalografia

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tema 1. Estructura Cristalina. Posicion de un punto de la red: r = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 • Volumen de la celda unidad: V = a · b × c • Distancia entre planos (SC, BCC, FCC): dhkl = √ a • Red Ortorr´mbica: o
h2 +k2 +l2 + k2 + l 2 b c 1 (FCC). Cl: 000, 1 1 0, 1 0 1 , 0 1 1 • Na: 1 1 1 , 00 1 , 0 1 0, 2 00 • ii) CsCl 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (SC) Cs: 000 • Cl: 2 2 2 • iii) hcp: Factor deempaquetamiento: c/a = (8/3)1/2 • iv) Estructura diamante (FCC). 000, 1 1 1 • v) ZnS 2 22 (2FCC). Zn: 000, 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0 • S: 1 1 1 , 1 3 3 , 3 1 3 , 3 3 1 • 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3

Tema 4. Fonones. Vibraciones de la red.
u Ecuaci´n de movimiento: m ddt2n = p Cp (un+p − un ), soluciones: o Modos normales: un (x, t) = u0 ei(kx−ωt) • Relaci´n de dispersi´n: o o 1 ω 2 = p 2Cp m[1 − cos kpa] • Interacci´n a primeros vecinos, p = 1 • o x = sa con s = 0, 1, ... • un+1 = un (x + a) •
2

dhkl =

1
h2 a2 2 2

• Estructuras cristalinas simples. i) NaCl

m ddtus = C(us+1 + us−1 − 2us ) ⇒ ω = 2
a

2

4C1 m

sin

ka 2



ωmax = ω(k = ±π/a) = 4C1 /m • 1 Zona de Brillouin: −π ≤ ka ≤ π • Condici´n de Bragg: kmax = ±k/a • Velocidad de o grupo: vg =
dω dk(1D), vg =

k ω(k)

(3D). vg =

Vol´menes celdas primitivas: i) SC: V = a ii) BCC: V = a /2 iii) u FCC: V = a3 /4 • Coefiiente de dilataci´n lineal: L = L0 (1 + α∆T ) o

Aproximaci´n de onda larga: ka o 1 ⇒ sin ka 2 C1 2 2 2 ω = m k a • Dos ´tomos por celda primitiva: Ecuaciones de a movimiento: m1 ddtus = C(vs + vs−1 − 2us ), 2 m2 ddtvs = C(us+1 + us − 2vs ). Soluciones (modos normales): 2us = u0 eiska e−iωt , vs = v0 eiska e−iωt • Relaci´n de dispersi´n: o o
2 ω± = C m1 +m2 m1 m2
2 2

C1 a2 cos ka • m 2 ka . As´ pues, ı 2

´ tema 2. Difraccion. Ley de Bragg: 2d sin θ = nλ, intensidad m´xima n = 1 • Red Real → a a, Red Rec´ ıproca → 2π/a • N´mero de electrones en la red u peri´dica: n(r) = G nG exp(−iG · r) con o 1 nG = Vc c dV n(r) exp(−iG · r) • Vector de la red rec´ ıproca:a2 a3 G = hb1 + kb2 + lb3 con b1 = 2π a1 ·a×a3 3 , b2 = 2π a1 ·a×a1 3 , 2 ×a 2 ×a a1 b3 = 2π a1 ·a×a2 3 • bi · aj = 2πδij • Amplitud de Scattering: 2 ×a

±C

m1 +m2 m1 m2

2



4 m1 m2

sin2

ka . 2

ω+ → Rama

o ´ptica, ω− → Rama ac´stica. • Aproximaci´n de onda larga u o +m 2 2 C (ka 1): ω+ 2C m11 m22 . ω− k2 a2 • kmax = ± π ⇒ m 2(m1 +m2 ) a
2 2 ω+ = 2C/m1 . ω− = 2C/m2 •Fonones: E = (n + 1/2) ω • p = k • Scattering de un fon´n: k = k + kf on´n + G • Energ´ total de los o ıa o fonones: U = k p nk,p ωk,p • N´mero medio de fonones: u ω n = e ω/k1 T −1 • U = p dωDp (ω) e ω/kB T −1 • CV = ∂U • ∂T B Densidad de estados: (1D) Un estado permitido por cada dk intervalo 2π • D(ω) = L dω = dN • (2D) 1 estado por ´rea a L π dω 2π Lx 2π Lx 2π Ly 2π Ly

F =

G

dV ngei(G−∆k)r • Condici´n de difracci´n: ∆k = G, si o o dV n(r)e−iG·r = N SG , con SG ≡ Factor de Esctructura • c s s j=1 nj (r − rj ) = j=1 nj (ρ) ⇒

el´stica ⇒ 2kG = G2 • dhkl = 2π/ G . Si ∆k = G ⇒ a FG = N n(r) = SG =
j j

• D(ω) =
2π Lz

L2 dk k 2π dω

• (3D) 1 estado por volumen • Modelo de Debye: •

• D(ω) =

V dk k2 dω 2π 2

dV nj (r − rj ) exp(−iG · r)= dvnj (ρ) exp(−iG · ρ) • Factorat´mico de forma: o

exp(−iG · rj )

fj = dV nj (ρ) exp(−iG · ρ) ⇒ SG = j fj exp(−iG · r) y tambi´n e SG = j fj exp{−i(hn1 + kn2 + ln3 ) • Anillos de difracci´n: o dhkl = λ/2 ⇒ sin θmax = π/2, aparecen anillos para dhkl ≥ λ/2 • Factor at´mico de forma, distribuci´n esf´rica de carga: o o e ∞ ∞ fj = 4π 0 drr2 nj (r) sin Gr • 0 dxxn e−ax = Γ(n+1) • Gr an+1 Γ(n + 1) = nΓ(n) = n! • BCC: SG,BCC = fBCC1 + (−1)h+k+l • FCC: SG,F CC = fF CC 1 + (−1)h+k + (−1)k+l + (−1)h+l • ∗ Intensidad de difracci´n: I = SG · SG o

ω V ω2 Dispersion lineal ω = vk ⇒ D(ω) = 2π2 v3 • N = 0 D D(ω)dω ⇒ 2 3 3 Freciencia de Debye (frecuencia m´x.): ωD = 6πV v N • kD = ωD /v a

Energ´ t´rmica (1 polarizaci´n): Up = ıa e o U = Up × 3 ⇒ U = 9N kB T θD = xD T =
kB T θD 3 xD 0 6π 2 V

dωD(ω)f (ω)Eω •
x dx ex...
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