formulas integrales de cauchy

Formulas integrales
De Cauchy

Más sobre integración en contornos cerrados...
Podemos usar el teorema de Cauchy G para integrar
funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:
(a) analíticas, o
(b) analíticas en ciertas regiones
Por ejemplo,
C

dz
0

z
C

f (z) es analítica en todo punto
excepto en z = 0

Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?
C

dz
?

z
C

2EJEMPLO
 1

5


 8  dz donde C es el circulo
3
z i
, 0 t 2
 ( z  i)


C
z  i 1

Fórmula Integral de Cauchy
Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D.
Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C
en D que incluya z0:

f ( z)
dz

2

i
f
(
z
)
0

z  z0
C

C

z0

D
 
4

dz
(2)  2
donde C es el círculo |z+i |=1
z 1
C
En primer lugar, notemos que1/(z2+1) presenta
puntos singulares en z = i.
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.
Ese es nuestro punto z0 en la fórmula

i

i

C

D

f ( z)
dz 2i f ( z0 )

z  z0
C
Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la
integral como:
1

dz
dz
z  i dz


2



z

1
(
z

i
)(
z

i
)
z i 5
C
C
C

1
dz
dz
z  i dz


2



z

1
(
z

i
)(
z

i
)
z i
C
C
Ci

f ( z)
dz 2i f ( z0 )

z  z0
C
z0  i

1
f ( z) 
z i

i

C

D

f ( z0 ) i / 2

dz
 2
 
z 1
C
6

 

dz
donde C es el círculo |z+i |=1
4

z 1
C

i

C

Tenemos que

dz
dz

4

z  1 C ( z  1)( z  1)( z  i )( z  i )
C

1

1
i

El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.
Ese es nuestro punto z0 en la fórmula

1
dz
f ( z)

dz donde f ( z ) 
4

( z  1)( z 1)( z  i )
z  1 C z i
C
1
i

Ahora f ( z0 )  f (i ) 
(i  1)( i  1)( 2i ) 4

dz
f ( z)

 4

dz 2i f ( z0 ) 
8 2
z  1 C z  z0
C

Y SI TENEMOS EXPONENTE en
El denominador?
Generalización de la fórmula integral de Cauchy
Fórmula integral de Cauchy para derivadas
 

 

Generalización de la fórmula integral de Cauchy

En su forma mas operativa
f ( z)
2i ( n )
dz 
f ( z0 )
n 1

n!C  z  z0 



z 2  3z
d z 2  3z
dz 2i
2

dz
C  z  1



cos z
d 2  cos z 
dz i
3
2

dz


z

2
C

,
z 0  1

z 0 2

Otro Ejemplo
Evaluar la integral
z

e
dz donde C es el círculo |z |=2
2

z
C

C

f ( z)

dz

2

i
f
(
z
)
0
2

( z  z0 )
C

D
f ( z ) ez

z
f
(
z
)

e
sea

sea z0 0

f ( z0 ) e 0 
z

f (z) es analítica en D, y C incluye z0

e dz
2

2

i
2
z12
C

Ejemplo
Evaluar la integral
2

z
dz donde C es el círculo |z |=2
3

C  z  i

C

f ( z)
2 i


dz

f
(
z
)
0
3

( z  z0 )
2
C
2
f
(
z
)

z
sea

sea z0 i

D

f ( z ) 2
f ( z0 ) 2
2

f (z) es analítica in D, y C incluye z0

z dz
2 i
3

( z 14 i )
C

ez
dz
3

C  z  2i 

Calcular

donde C es la circunferencia

z 3con sentido positivo.

ez
I 
dz
3
C  z  2i 
f(n)

n!
f ( z)
 z0   
dz ,
n 1
2i C  z  z0 

siendo :
z0  2i;
e  2i

f ( z ) e z  f ( z0 ) e  2i

2!
ez
I
 2i

dz


I


ie
2i C z  2i  3
i
15

17

18

19

Si se tienen dos puntos singulares dentro de C, se
usa Deformacion de contornos
o fracciones parciales

z

Demostración no rigurosa de
la fórmula integral de Cauchy:

r0 e

i

Por el principio de deformación
decontornos:

C

z0
C0

f ( z)
f ( z)
dz

dz


z

z
z  z0
0
C
C0
i

2
f ( z0  r0 e ) i
f ( z)
i
dz

ir
e
d


i
f
(
z

r
e
)d
0
0
0
i




0
0
z

z
r
e
0
0
C0
2

Cambio de
variable:

i

z z0  r0 e ;

dz
i
ir0 e
d
22

Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente
pequeño:
2
2
i


lim i  f ( z0  r0 e )d i  f ( z0 )d 

0
r0  0  0
2

if ( z0 )  d2if ( z0 )
0

f ( z)
dz

2

i
f
(
z
)
0

z  z0
C
¿Qué no es riguroso aquí?
23

APLICACIONES

Preliminares
Se dice que un dominio D es simplemente conexo si
cualquier contorno cerrado simple C que se localice
completamente en D puede encogerse hasta un punto sin
tener que abandonar D. En otras palabras, en un dominio
simplemente conexo, cualquier contorno cerrado simple C
que se...