formulas

M ECANICA

}

FORMULARI

A l’examen aquest formulari no pot contenir altra informació que la impresa originàriament.

{

 du  
d
BM
= {u}BM + ΩR ∧ u
Derivació en una base mòbil   
BM
 dt  R BM dt

v AB = v REL + v ar

Components intrínseques de la velocitat i l’acceleració
˙
˙
v = s ; a s = v ; a n = v2 / R
Composició de velocitats

a ABS = a REL + a ar + a corv ar ≡ v AB (PREL ) = v AB (OREL ) + Ω ar ∧ OREL P
Composició d’acceleracions
a ar ≡ a AB ( PREL ) = a AB (O REL ) + α ar ∧ OREL P + Ωar ∧ (Ωar ∧ OREL P) ; a cor = 2Ωar ∧ v REL
α
Ω
Ω
Ω

)
)]

= v( J 2 )]
NORMAL
]TAN = v(J2 )]TAN

J1
NORMAL

Velocitat i acceleració dels punts d’un sòlid rígid

(

; G = 6, 67 ⋅ 10 −11 m 3kg −1s −2

Fcor ( P ) = − m P a cor

• contactesense lliscament v( J1 ) = v( J 2 )

• no lliscament v( J1 )

• contacte v(

v( Ps ) = v(Os ) + Ωs ∧ OP
a( Ps ) = a(Os ) + α s ∧ OP + Ωs ∧ Ωs ∧ OP
α
Ω
Ω
Condicions bàsiques d’enllaç

a R.Gal ( Plliure ) = 0

Lleis de Newton
1a
FP → Q = − FQ→ P ; OP ∧ FQ→ P = −OQ ∧ FP → Q

2a m P a R.Gal ( P ) = ∑ Finterac ( P )
3a

Dinàmica en les Referències no galileanes
m P a R. no Gal ( P) = ∑ Fint erac ( P ) + Far ( P ) + Fcor ( P ) ; Far ( P ) = − m P a ar

2

m P mQ

Llei d’atracció gravitatòria
Fg = G
PQ

Força d’una molla lineal
Fm atrac = Fo (atrac) + k ⋅ allarg = Fo (atrac) − k ⋅ escurç
Fm rep = Fo ( rep) − k ⋅ allarg = Fo ( rep) + k ⋅ escurç

Força d’un amortidor lineal
˙
Fa atrac = cvsep = cρ = − cvaprop
˙
Fa rep = − cvsep = − cρ = + cvaprop
Frec sec ode Coulomb

Ffrec ≤ µ e N si no llisca
Ffric = µ d N oposada al lliscament, si llisca

Parell d’una molla i d’un amortidor torsionals (signe + per a θ creixent):
˙
M m = M o − k t (θ − θ o ) ; M a = − c t θ

Caracterització analítica del torsor d’enllaç entre dos sòlids
S1

sist

sist

∑ OP m P
∑ OG i m i
OG = sist
= sist
∑ mP
∑ mi

FE ⋅ v* 2 (OS1 ) + M E ⋅ Ω*S2 = 0 ; esprescindeix dels altres enllaços que pugui tenir S1
Ω
S

Posició del centre d’inèrcia

s

s

; i≠ j≠ k

)

I ii = ∫ x 2 + x 2 dm = ∫ δ 2 dm ; i ≠ j ≠ k
j
k
i

(

Tensor d’inèrcia
Moments d’inèrcia

I ij = − ∫ x i x j dm ; i ≠ j
I ii + I jj ≥ I kk

s

Productes d’inèrcia
Propietat triangular

tensor a B amb tota la massa
Teorema de Steiner II B = II G + II⊕ ; II⊕ ≡
BB
concentrada a G
I Bii = I G ii + ms2 ; si = distància entre eixos i per B i G
i
I Bij = I G ij − ma ia j ; ai, aj = components de BG o de GB

Moment d’inèrcia per a un eix que passa per B i té la direcció del versor ν

; i≠ j≠ k

; i≠ j≠ k

I Bνν = νT II B ν
Direccions principals d’inèrcia a B ≡ vectors propis de II B
Moments principals d’inèrcia I o a B ≡ valors propis de II B
io
o
Rotor simètric a B: I o
ii = I jj ≠ I kk
Io = Io = Io
ii
jj
kk

Rotor esfèric a B:

Si hi ha un pla de simetria en la distribució de massa:
• per als punts del pla, la normal al pla és direcció principal d’inèrcia.
•

per als punts del pla, i base vectorial amb eix i normal al pla, I ii , I jj, I kk i I jk ( i ≠ j ≠ k )
tenen una formulació anàloga per al sòlid complet, demassa M, que per a una de les
meitats del sòlid (partit pel pla de simetria); només cal substituir M per m=M/2.

T EOREMES VECTORIALS PER A SISTEMES DE MATÈRIA CONSTANT

sist

sist

sist

sist



Teorema de la quantitat de moviment (en R. Gal)  ∑ m p  a(G ) = ∑ Fext
sist
sist

˙
i també ∑ m i a(G i ) = ∑ Fext , o bé D = ∑ Fext , amb D = ∑ m p v( P )
Teorema del momentcinètic (en R. Gal) per a:
.

OK ≡ ∑ OP ∧ m p v( P )

OK = ∑ M ext (O) ;
BK ≡ ∑ BP ∧ m p v RTB ( P )

sist

un punt fix
.


BK = ∑ M ext (B) − BG ∧  ∑ m p  a(B) ;
sist
sist


•
un punt mòbil

•
.

sist

GK ≡ ∑ GP ∧ m p v RTG ( P )

G

GK = ∑ M ext (G ) ;

•

⊕

Descomposició baricèntrica del moment cinètic

sist



⊕
≡ QG ∧  ∑ m p  v RTQ (G ) =...