Formulas

La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8

Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 lafunción es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Función identidad
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

MODELO DE EQUILIBRIO
En la determinación de las ganancias o beneficios de una organización, expresada como la diferencia entre ingresos totales y costos totales, adquiere gran importancia el concepto de punto deequilibrio, es decir el punto de beneficio 0 (cero) en donde
CT = I.
Cualquier cambio en esta igualdad genera déficit o superávit, ganancia o pérdida.
Para este análisis suponemos que los costos variables o costo por unidad de producción y los ingresos por ventas son lineales
Punto de equilibrio:
Si el costo total de producción excede a los ingresos obtenidos por las ventas de los objetosproducidos, la empresa sufre una pérdida; si, por el contrario, los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia. Si los ingresos obtenidos por las ventas igualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en el punto de equilibrio o de beneficio cero.
Si una empresa posee una función de costos C(x), una función de Ingresos I(x), dadas por:
C(x) = cx + k c:costo de producción por unidad;
k: costo fijo
x: cantidad producida del bien
I(x) = sx s: precio de venta por unidad
X: cantidad vendida del bien
La función de beneficio B(x) estará dada por la diferencia entre la función de ingresos y la función de costos.
B(x) = I(x) - C(x)
B(x) = (s - c)x - k
En el punto de equilibrio la empresa no tiene ganancias ni pérdidas
B(x´) = 0, entoncesI(x´) = C(x´)
El punto P(x´; p´) es la solución simultánea de las ecuaciones p = C(x) y p = I(x) y recibe el nombre de punto de equilibrio; x´ es la cantidad de equilibrio y p´es el precio de equilibrio.
Geométricamente P(x´; p´) es la intersección de las rectas que representan a las funciones de costos y de ingresos.
Si x < x´, entonces I(x) < C(x), luego B(x) < 0 indicando que la empresaproduce con pérdidas.
Si x = x´ se tiene el punto de equilibrio, la empresa no gana ni pierde.
Si x > x´, entonces I(x) > C(x), luego B(x) > 0 lo que indica que la empresa opera con ganancias.
Ejemplo 1: Los costos fijos de una empresa (luz, teléfonos, alquileres etc.), que son independientes del nivel de producción, ascienden a $ 250.000. El costo variable o costo por unidad de producción delbien es de $ 22,50. El precio de venta del producto es de $ 30,00 por unidad. Calcular su punto de equilibrio.
Podemos determinar la función de costos totales C(x) = 22,50x + 250.000 y la de Ingresos totales I(x) = 30x.
El punto de equilibrio se puede hallar:
a) Trabajando con la función beneficio definida como la diferencia entre ingresos y costos B(x) = I(x) – C(x) y buscando el valor para elcual la utilidad es igual a 0 (cero).
B(x) = I(x) – C(x)
B(x) = 30x – (22,50x + 250.000)
B(x) = 7,50x – 250.0000
En el punto de equilibrio B(x) = 0
0 = 7,50x – 250.000
x = 250.000 / 7,50
x = 33.333,33 unidades
y = $99.999,9
Las coordenadas del punto de equilibrio serán (33.333,33; 99.999,9)

Modelo Grafico del punto de equilibrio


Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticasy álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en...