fortuna

Fracciones Parciales
Fracciones Propias e Impropias
P (x)
es una fracción propia, si el grado del
Q(x)
polinomio P (x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, siel
grado de P (x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.
Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un
polinomio mas una fracción propia.Es decir,

Definición 1 Se dice que una función racional

P (x)
N1 (x)
= {polinomio} +
Q(x)
Q(x)
Caso 1 El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos.
Esto significa quepodemos escribir
Q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) · · · (ak x + bk )
en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1 , A2 , · · · , Ak tales
que
P (x)
A1
A2
Ak
=
+
+··· +
Q(x)
a1 x + b1 a2 x + b2
ak x + bk
Ejemplo

1.

x2

Descomponer en fracciones parciales la fracción:

7x + 3
+ 3x − 4

Solución Tenemos que el denominador se puede descomponer enfactores simples como
sigue:
x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1)
Luego la descomposición en fracciones parciales es:

x2

7x + 3
7x + 3
A
B
=
=
+
+ 3x − 4
(x + 4)(x − 1)
x+4 x−1

Paraencontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x + 4)(x − 1),
obteniendo
7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)
desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
A+B
= 7
−A + 4B = 3⇒

Por lo que la fracción original queda:
1

A = 5, B = 2

x2

2.

5
2
7x + 3
==
+
+ 3x − 4
x+4 x−1

x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
Solución Se tiene que el denominador se puedefactorizar como sigue:
2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x − 2 = x(2x − 1)(x + 2)
Luego, la descomposición en fracciones parciales es:
x2 + 2x − 1
A
B
C
= +
+
x(2x − 1)(x + 2)
x
2x − 1 x + 2multiplicando ambos lados de la igualdad por el factor común, y luego resolviendo la
ecuación, se obtiene
x2 + 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1)
con
1
1
1
A= , B= y C=−
2
5
10...