fourier

Cap´
ıtulo 4
Ortogonalidad y Series de Fourier
El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (´ngulo). Este denota
a
entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se cruzan en un ´ngulo
a
recto presentan una configuraci´n ortogonal. La ortogonalidad es un concepto fundao
mental para la comprensi´n del an´lisis de funciones por medio de lastransformadas de
o
a
Fourier, Laplace y la transformada z . Este cap´
ıtulo introduce el concepto en cuesti´n a
o
partir de un contexto usualmente m´s familiar: la ortogonalidad de vectores. Para m´s
a
a
informaci´n sobre la terminolog´ matem´tica puede consultarse [18, 1].
o
ıa
a

4.1

Espacios vectoriales

Tradicionalmente se utiliza en ingenier´ el concepto de vector como un conjuntoordenado
ıa
de n cantidades, por ejemplo [x1 , x2 , . . . , xn ]T . En los casos particulares de vectores bidimensionales (n = 2) y tridimensionales (n = 3) se utilizan en la pr´ctica representaciones
a
alternativas que comprenden magnitudes y ´ngulos (por ejemplo, utilizando coordenadas
a
polares, cil´
ındricas o esf´ricas). En t´rminos matem´ticos se prefiere la notaci´n cartee
e
a
osiana por su generalidad: el concepto de vector es v´lido para todo entero n no negativo
a
(esto es n = 0, 1, . . .), donde las componentes xi se toman del conjunto de los n´meros
u
reales IR o de los n´meros complejos C.
u
Sea IF un cuerpo escalar, es decir, una estructura algebraica que consiste por una parte
en un conjunto de escalares y por otra parte en una colecci´n de operacionesdefinidas
o
para los elementos del conjunto: adici´n y multiplicaci´n, que satisfacen, entre otras, las
o
o
propiedades de asociatividad, conmutatividad y distributividad. Un conjunto de vectores
V se denomina espacio vectorial sobre un cuerpo IF (por ejemplo el cuerpo de los n´meros
u
reales IR o el cuerpo de los n´meros complejos C) si
u
131

4 Ortogonalidad y Series de Fourier

• para unaoperaci´n de adici´n vectorial en V, denotada x + y, con x, y ∈ V; y
o
o
• para una operaci´n de multiplicaci´n escalar en V, denotada como ax, con x ∈ V y
o
o
a ∈ IF
se cumplen las siguientes propiedades con a, b ∈ IF y x, y, z ∈ V:
1. x + y ∈ V. (V es cerrado con respecto a la adici´n vectorial).
o
2. x + (y + z) = (x + y) + z. (Asociatividad de la adici´n vectorial en V).
o
3.Existe un elemento neutro 0 ∈ V, tal que para todo x ∈ V se cumple que x + 0 = x.
(Existencia de un elemento identidad aditivo en V).
4. Para todo x ∈ V existe un elemento y ∈ V tal que x + y = 0. (Existencia de
inversos aditivos en V).
5. x + y = y + x. (Conmutatividad de la adici´n vectorial en V).
o
6. ax ∈ V. (V es cerrado con respecto a la multiplicaci´n escalar).
o
7. a(bx) = (ab)x.(Asociatividad de la multiplicaci´n escalar en V).
o
8. Si 1 representa la identidad multiplicativa del cuerpo IF entonces 1x = x. (Neutralidad de uno).
9. a(x + y) = ax + ay. (Distributividad con respecto a la adici´n vectorial).
o
10. (a + b)x = ax + bx. (Distributividad con respecto a la adici´n en el cuerpo).
o
El concepto de espacio vectorial es completamente abstracto. Para determinar siun
conjunto V es un espacio vectorial deben especificarse tan solo el conjunto V, el cuerpo
escalar IF y las operaciones vectoriales de adici´n y multiplicaci´n escalar en V. Si las
o
o
diez propiedades anteriores se satisfacen, se dice entonces que V es un espacio vectorial.

4.1.1

Combinaciones lineales

Se denomina combinaci´n lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , un de un espaciovectorial V a
o
todo vector x del tipo
x = c1 u1 + c2 u2 + . . . + cn un
con los coeficientes de la combinaci´n lineal c1 , . . . , cn , que son escalares del cuerpo escalar
o
IF relacionado con el espacio vectorial V.
132

c 2005-2007 — P. Alvarado

Uso exclusivo ITCR

4.1 Espacios vectoriales

Un conjunto de vectores U = {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ V se dice ser un conjunto...