FOURIER

LECCIONES SOBRE LAS
SERIES Y TRANSFORMADAS
DE FOURIER
Javier Duoandikoetxea

UNAN-Managua, 2003

Presentaci´n
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Las series e integrales de Fourier constituyen un tema cl´sico del an´lisis
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matem´tico. Desde su aparici´n en el siglo XVIII en el estudio de las via
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braciones de una cuerda, las series de Fourier han sido una piedra de toque
para el desarrollo de los conceptosb´sicos del an´lisis –funci´n, integral,
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serie, convergencia...–, y la evoluci´n de estos conceptos ha ido abriendo a
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su vez nuevos rumbos en el an´lisis de Fourier. As´ lo expresa Zygmund en
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el pr´logo de su famoso libro sobre series trigonom´tricas (1958):
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Esta teor´ ha sido una fuente de nuevas ideas para los analisıa
tas durante los dos ultimos siglos y probablementelo ser´ en los
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pr´ximos a˜os. Muchas nociones y resultados b´sicos de la teor´
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de funciones han sido obtenidos por los matem´ticos trabajando
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sobre series trigonom´tricas. Es concebible pensar que estos dese
cubrimientos pod´ haber sido realizados en contextos diferentes,
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pero de hecho nacieron en conexi´n con la teor´ de las series trigoo
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nom´tricas. No fueaccidental que la noci´n de funci´n aceptada
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ahora generalmente fuera formulada en la celebrada memoria de
Dirichlet (1837) que trata de la convergencia de la serie de Fourier,
o que la definici´n de integral de Riemann en su forma general
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apareciese en el Habilitationsschrift de Riemann sobre series trigonom´tricas, o que la teor´ de conjuntos, uno de los desarrollos
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m´simportantes de las matem´ticas del siglo XIX, fuera creada
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por Cantor en su intento de resolver el problema de los conjuntos
de unicidad para series trigonom´tricas. En ´pocas m´s recientes,
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la integral de Lebesgue se desarroll´ en estrecha conexi´n con la
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teor´ de series de Fourier y la teor´ de funciones generalizadas
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(distribuciones) con la de las integrales deFourier.

Las notas se dividen en dos grandes bloques: el primero trata de series de
Fourier y el segundo, de integrales de Fourier; en medio, un tema sobre
espacios de Hilbert y sistemas ortogonales de funciones que da la estructura
funcional abstracta en la que se pueden colocar las series de Fourier.
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ii

Presentaci´n
o

Para la lectura de los temas relativos a series no se exigem´s integral
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que la de Riemann, de modo que se pueden estudiar tras haber seguido un
curso de an´lisis de una variable, salvo en algunas de las aplicaciones. Sirven
a
adem´s para fijar los conceptos b´sicos del an´lisis, tan ligados al desarrollo
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hist´rico de la teor´ Las series aparecen en senos y cosenos, a la manera
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cl´sica, con s´lo algunas indicaciones sobre su versi´ncompleja.
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En la teor´ de la transformada de Fourier he cre´ conveniente trabajar
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desde el principio con la integral de Lebesgue y, por supuesto, usar la forma
compleja. En esto no parece haber duda entre los matem´ticos de hoy,
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si nos atenemos a los libros. La integral de Lebesgue ahorra argumentos
en las pruebas porque tiene acceso a resultados m´s potentes y, con todo,a
m´s sencillos de aplicar (teorema de convergencia dominada y teorema de
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Fubini, por ejemplo). Las dificultades de definici´n de la transformada de
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Fourier para funciones no integrables tambi´n exigen recursos de an´lisis no
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elemental, mejor adaptados a la integral de Lebesgue.
En un ultimo cap´
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ıtulo se muestra la manera en que la transformada de
Fourier se suele usar en elmundo real. La adaptaci´n al c´lculo num´rico
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exige el uso de una versi´n discreta y las t´cnicas involucradas son de tipo
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algebraico. Adem´s se ve c´mo el algoritmo de la transformada r´pida de
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Fourier permite ahorrar c´lculos num´ricos en determinados casos.
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Termino el texto con tres ap´ndices. El primero repasa las series num´rie
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cas y funcionales y...