fourier
Páginas: 94 (23322 palabras)
Publicado: 12 de noviembre de 2013
1
Curso 2006-2007
Tema 3.
M´todos anal´
e
ıticos de resoluci´n
o
de EDP. Dominios no acotados.
Asignatura:
M´todos Matem´ticos de la Ingenier´ Qu´
e
a
ıa
ımica
Profesores:
Emanuele Schiavi y Ana Isabel Mu˜ oz.
n
Apuntes elaborados por:
C. Conde (UPM), E. Schiavi (URJC) y A.I. Mu˜ oz
n
(URJC).
´
Indice
1
´
Indice
1.
Preliminares . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.
5
5
1.2.
De la integral de Fourier a la transformada de Fourier . . . . .
7
1.3.
2.
De las series a las transformadas de Fourier: la integral de
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
La Transformada de Fourier . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.
2.2.
Transformaciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.
Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 14
2.4.
3.
La Transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 12
La transformada de Fourier multidimensional . . . . . . . . . 16
Aplicaciones: dominios no acotados y Transformadasde Fourier . . . 17
3.1.
Difusi´n unidimensional. Soluci´n general en forma integral . . 17
o
o
3.1.1.
3.1.2.
3.2.
La Delta de Dirac: una fuente localizada. . . . . . . . 20
La funci´n de Heaviside. Temperatura inicial discono
tinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dominios semiinfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1.Transformadas seno inversas de Fourier . . . . . . . . 25
3.2.2.
Transformadas coseno inversas de Fourier . . . . . . 25
3.2.3.
Difusi´n en un dominio semiinfinito. Flujo de calor
o
prescrito en el extremo izquierdo. Transformada de
cosenos de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.4.
Difusi´n en un dominio semiinfinito. Temperatura
o
prescrita en el extremo izquierdo.Transformada de
senos de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.5.
Difusi´n en un dominio semiinfinito. Extremo izquiero
do parcialmente aislado. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
´
Indice
2
4.
El paso de la integral de Fourier a la transformada de Laplace . . . . 32
5.
La Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.Transformadas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1.
Unas transformadas no elementales . . . . . . . . . . 43
5.2.
Propiedades de la tranformada de Laplace . . . . . . . . . . . 44
5.3.
Transformada de funciones continuas a trozos . . . . . . . . . 53
5.3.1.
5.3.2.
6.
Transformada de la Delta de Dirac . . . . . . . . . . 57
Transformada inversa deLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.
7.
La funci´n escal´n unitario . . . . . . . . . . . . . . 53
o
o
C´lculo de las transformadas inversas de Laplace . . . . . . . 60
a
Aplicaciones a la resoluci´n de EDO y de sistemas de EDO . . . . . . 67
o
7.1.
7.2.
8.
Resoluci´n de EDO lineales de coeficientes constantes y de
o
orden n . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 68
An´lisis de la respuesta de sistemas lineales . . . . . . . . . . 71
a
Aplicaciones a la resoluci´n de EDP
o
8.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Aplicaci´n de la transformada de Laplace a unos problemas
o
modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.1.1.
Resoluci´n de una EDP de primer orden . . . . . . . 77
o8.1.2.
Resoluci´n de una EDP de segundo orden en un doo
minio no acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.3.
Resoluci´n de una EDP de segundo orden en un doo
minio acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.
Comentarios finales sobre el uso de las transformadas integrales . . . 82
10.
El m´todo de Combinaci´n de variables . . . . . . . . . . ....
Curso 2006-2007
Tema 3.
M´todos anal´
e
ıticos de resoluci´n
o
de EDP. Dominios no acotados.
Asignatura:
M´todos Matem´ticos de la Ingenier´ Qu´
e
a
ıa
ımica
Profesores:
Emanuele Schiavi y Ana Isabel Mu˜ oz.
n
Apuntes elaborados por:
C. Conde (UPM), E. Schiavi (URJC) y A.I. Mu˜ oz
n
(URJC).
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1
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1.
Preliminares . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.
5
5
1.2.
De la integral de Fourier a la transformada de Fourier . . . . .
7
1.3.
2.
De las series a las transformadas de Fourier: la integral de
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
La Transformada de Fourier . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.
2.2.
Transformaciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.
Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 14
2.4.
3.
La Transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 12
La transformada de Fourier multidimensional . . . . . . . . . 16
Aplicaciones: dominios no acotados y Transformadasde Fourier . . . 17
3.1.
Difusi´n unidimensional. Soluci´n general en forma integral . . 17
o
o
3.1.1.
3.1.2.
3.2.
La Delta de Dirac: una fuente localizada. . . . . . . . 20
La funci´n de Heaviside. Temperatura inicial discono
tinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dominios semiinfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1.Transformadas seno inversas de Fourier . . . . . . . . 25
3.2.2.
Transformadas coseno inversas de Fourier . . . . . . 25
3.2.3.
Difusi´n en un dominio semiinfinito. Flujo de calor
o
prescrito en el extremo izquierdo. Transformada de
cosenos de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.4.
Difusi´n en un dominio semiinfinito. Temperatura
o
prescrita en el extremo izquierdo.Transformada de
senos de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.5.
Difusi´n en un dominio semiinfinito. Extremo izquiero
do parcialmente aislado. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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4.
El paso de la integral de Fourier a la transformada de Laplace . . . . 32
5.
La Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.Transformadas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1.
Unas transformadas no elementales . . . . . . . . . . 43
5.2.
Propiedades de la tranformada de Laplace . . . . . . . . . . . 44
5.3.
Transformada de funciones continuas a trozos . . . . . . . . . 53
5.3.1.
5.3.2.
6.
Transformada de la Delta de Dirac . . . . . . . . . . 57
Transformada inversa deLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.
7.
La funci´n escal´n unitario . . . . . . . . . . . . . . 53
o
o
C´lculo de las transformadas inversas de Laplace . . . . . . . 60
a
Aplicaciones a la resoluci´n de EDO y de sistemas de EDO . . . . . . 67
o
7.1.
7.2.
8.
Resoluci´n de EDO lineales de coeficientes constantes y de
o
orden n . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 68
An´lisis de la respuesta de sistemas lineales . . . . . . . . . . 71
a
Aplicaciones a la resoluci´n de EDP
o
8.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Aplicaci´n de la transformada de Laplace a unos problemas
o
modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.1.1.
Resoluci´n de una EDP de primer orden . . . . . . . 77
o8.1.2.
Resoluci´n de una EDP de segundo orden en un doo
minio no acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1.3.
Resoluci´n de una EDP de segundo orden en un doo
minio acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.
Comentarios finales sobre el uso de las transformadas integrales . . . 82
10.
El m´todo de Combinaci´n de variables . . . . . . . . . . ....
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