Fracciones Simples

Descomposici´n en fracciones simples
o
Bruno Stonek - Junio 2010 / Actualizado Mayo 2011

Dados f y g polinomios consideramos su cociente f que llamamos funci´n racional.
o
g
Queremos descomponerla en fracciones simples que sabemos integrar.
Una fracci´n simple es una expresi´n de la forma
o
o
A
(x − a)n

o

(x2

Ax + B
, n∈N
+ bx + c)n

donde en el segundo caso se cumple b2− 4c < 0.
Si gr f ≥ gr g , entonces podemos simplificar el cociente
f por g , qued´ndonos entonces
a

f
g

haciendo la divisi´n de
o

f ( x)
R(x)
= Q(x) +
g ( x)
g (x)
donde Q es un polinomio y R es un polinomio de grado menor que g . Por lo tanto
reducimos la descomposici´n en fracciones simples al caso f donde gr f < gr g . A partir
o
g
de ahora suponemos gr f < gr g.Admitiremos que toda funci´n racional f con gr f < gr g admite una unica descompoo
´
g
sici´n en suma de fracciones simples.
o
Para hallar la descomposici´n, factorizamos el denominador dej´ndolo en su forma
o
a
m´s reducida. Para seguir con la descomposici´n tenemos que distinguir en casos:
a
o
Primer caso: El denominador es producto de funciones lineales1 diferentes. Por ejemplo,
si esproducto de tres funciones lineales diferentes x − x1 , x − x2 , x − x3 donde
x1 , x2 , x3 ∈ R son constantes, debemos hacer
f (x)
A
B
C
=
+
+
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )
x − x1 x − x2 x − x 3
donde A, B, C ∈ R son constantes que debemos determinar. Para determinarlas,
hacemos denominador com´ n en la expresi´n de la derecha, y por igualdad de
u
o
polinomios nos queda un sistema deecuaciones lineales. En este caso concreto queda
un sistema de tres ecuaciones con tres inc´gnitas (A, B y C ). Resolviendo el sistema
o
hallamos A, B y C y la expresi´n en fracciones simples queda lista. Sabemos integrar
o
los sumandos mediante logaritmos. Un ejemplo:
x2 + 3 x + 1
A
B
C
=
+
+
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
x−1 x+1 x+2
(A + B + C )x2 + (3A + B )x + 2A − 2B − C
=
(x − 1)(x +1)(x + 2)
1

Una funci´n lineal es un polinomio de grado 1.
o

1

Dado que los numeradores son iguales, es una igualdad entre polinomios
x2 + 3x + 1 = (A + B + C )x2 + (3A + B )x + 2A − 2B − C . Por lo tanto los
coeficientes de mismo grado deben ser iguales. Resolvemos el sistema:


 A= 5
 A+B+C =1

6
3A + B = 3
⇐⇒
B=1
2



1
2A − 2B − C = 1
C = −3
Por lo tanto
51
1
x2 + 3 x + 1
=
+
−
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
6(x − 1) 2(x + 1) 3(x + 2)
y entonces el c´lculo de la integral queda
a
x2 + 3 x + 1
5
1
1
dx = log |x − 1| + log |x + 1| − log |x + 2|
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
6
2
3
Segundo caso: El denominador es producto de funciones lineales al menos una de las
cuales se repite. Por ejemplo, si es producto de dos iguales con una tercera, debemoshacer:
A
C
f (x)
B
=
+
+
2 (x − x )
2
(x − x1 )
x − x1 ( x − x1 )
x − x2
2
An´logamente al caso anterior, hacemos denominador com´ n en la expresi´n de
a
u
o
la derecha y por igualdad de polinomios encontramos A, B y C y la expresi´n en
o
fracciones simples queda lista. Sabemos integrar los sumandos mediante logaritmos
p+1
y la expresi´n xp dx = x +1 para p = −1.
o
p
oTercer caso: El denominador es producto de funciones lineales y al menos una funci´n
cuadr´tica2 ninguna de las cuales se repite. Se procede similarmente al primer caso,
a
s´lo que en los numeradores de los factores cuadr´ticos tenemos que poner una
o
a
funci´n lineal en vez de una constante. Por ejemplo:
o
f (x)
A
Bx + C
Cx + D
=
+2
+2
(x − 1)(x2 + x + 1)(x2 + x + 2)
x−1 x +x+1 x+x+2
donde A, B, C, D ∈ R son constantes que debemos determinar. Para determinarlas,
hacemos denominador com´ n en la expresi´n de la derecha, y por igualdad de
u
o
polinomios nos queda un sistema de ecuaciones lineales. En este caso concreto queda
un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro inc´gnitas (A, B , C y D). Resolviendo
o
el sistema hallamos A, B , C y D, y la expresi´n en...