Fractales

UNAM

Fractales

8 de Enero del 2010

¿QUÉ ES UN FRACTAL?
Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio, para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala de la figura principal.La palabra fractal es, fundamentalmente, un adjetivo, una característica que, en mayor o menor medida, tienen todos los elementos que poseen forma. Es un concepto matemático acuñado hace bien poco, durante el siglo XX. La razón por la cual un término matemático como éste, ha traspasado las fronteras de los libros de álgebra o geometría, es claramente visual. Algunos algoritmos matemáticos generanimágenes espectaculares. Estas imágenes se conocen también como fractales.
Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objetogeométrico fractal se le atribuyen las siguientes características
 Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
 Posee detalle a cualquier escala de observación.
 Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
 Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
 Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Nonos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o loscopos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.


Figura 1: fractal de Julia.

Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es fraccionaria. Es decir, en vez de ser unidimensional, bidimensional o tridimensional (como es elpara los objetos que nos son más familiares), la dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a dichos conceptos tradicionales. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. Esto es, precisamente, lo que les ha dado su nombre.
Muchas veces, los fractales se subscriben a la definición anterior. Otras no: en vez de observarse la misma estructura en proporcionesmenores de la figura principal que estemos observando, serán evidentes rasgos y patrones nuevos. Ello dependerá del tipo de fractal que examinemos y, como debe ser evidente, de la función matemática que hayamos utilizado para producirlo.

Figura 2: polvo de Cantor.

Probablemente, el primer objeto fractal puro en la historia, el polvo de Cantor, fue descrito por el matemático alemán GeorgCantor-inventor de la teoría de los conjuntos-alrededor de 1872. A pesar de ser una figura extremadamente sencilla, recoge todos los atributos discutidos sobre los fractales hasta el momento: presenta autosimilitud a cualquier escala y su dimensión es fraccionaria, con valor aproximado de 0,630929753571457437099527114. Igualmente, podemos basarnos en él para introducir otra característica general de estetipo de objeto: son producidos por procesos de iteración.
La iteración puede describirse como un mecanismo de retroalimentación, que se repite un número n de veces. Esto se refiere, por ejemplo, al acto de utilizar un valor inicial en el cálculo de cierta función, y luego tomar el producto, o resultado, como valor inicial para el próximo cálculo de esa misma función. Dicha operación puede...