Fractales

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Sobre el concepto de fractal. C. Salbor-Albor Ciencia. Marchena (sevilla). Noviembre, 1998

SOBRE EL CONCEPTO DE FRACTAL
Para poder hablar de fractales es necesario establecer primero lo que significa la dimensión topológica y lo que significa la dimensión fractal., para, a partir de ello, definir el objeto fractal y su correspondiente geometría, asi como sus aplicaciones más básicas. 1.Dimensión topológica y dimensión fractal: Desde un punto de vista topológico sabemos que la circunferencia y un segmento rectilíneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie (pues es posible transformar una en la otra mediante una deformación continua, es decir, sin que sea preciso someter a ninguna de las dos a manipulaciones “no topológicas”). Ahora bien, desde un punto de vistamétrico no son la misma curva, ya que la circunferencia y el área que encierra, el círculo, son finitos, y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área finita. Aparece aquí, entonces, una característica moderna de las matemáticas: intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los invariantes, y analizar, por otra parte, qué ocurre con lo que no se conserva,cómo hay que analizarlo, qué hay que hacer con ello, cómo integrarlo en el mundo de los entes matemáticos. En el ejemplo anterior, lo que se conserva es su carácter topológico, es decir, su dimensión topológica. Analicemos brevemente lo que significa la dimensión topológica, que es un término que introdujo Henri Poincaré para discernir sobre cuestiones de este tipo. La definición inductiva dadapor Poincaré al introducir este concepto fue la siguiente: El conjunto vacío tiene dimensión –1. Si los bordes de los entornos pequeños de todos los puntos del ente son espacios (n-1)-dimensionales, decimos que el espacio que consideramos es n-dimensional.

Así, según esto, se tiene:

Sobre el concepto de fractal. C. Salbor-Albor Ciencia. Marchena (sevilla). Noviembre, 1998

conjunto vacío:punto: segmento: cuadrado: cubo:

dimensión topológica: D = -1 dimensión topológica: D = dimensión topológica: D = dimensión topológica: D = dimensión topológica: D =

0 1 2 3

Otra definición de la dimensión topológica de un objeto geométrico la dio K. Devlin en 1988. Es la definición por el movimiento: En una curva solo podemos movernos en una dirección, adelante o hacia atrás. En unasuperficie podemos ir adelante, atrás, a derecha, a izquierda. En un volumen podemos movernos, además, hacia arriba, hacia abajo. La curva tiene una dimensión, la superficie tiene dos dimensiones y el volumen tiene tres dimensiones. Una definición distinta de dimensión topológica es la definición por semejanza, llamada también de autosemejanza, que sugirió Felix Hausdorff en 1919, readaptadaposteriormente por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich): Si al obtener desde un ente H, N entes iguales, semejantes al original, con razón de semejanza r, entonces la dimensión topológica de H es el número real D que verifica: N.rD = 1 O sea, Ln N + D. Ln r = 0. Por tanto: D= LnN 1 Ln( ) r

Esta definición se puede justificar desde la teoría de la medida: 1) La medida de la unión de N figurasque no se solapan A1, A2, ..., AN, es la suma algebraica de sus medidas: m(unión ) = ∑ m( Ak )
k =1 N

2) Si una figura A es semejante a otra figura A’, con razón de semejanza r, la medida de A es proporcional a la medida de A’, siendo la constante de proporcionalidad una potencia de la razón de semejanza:

Sobre el concepto de fractal. C. Salbor-Albor Ciencia. Marchena (sevilla). Noviembre,1998

1 m( A) =   .m( A' ) r
D

Veamos como obtener la definición de Hausdorff-Besicovich mediante la medición de un segmento AB del que se obtienen N subsegmentos iguales, cuya razón de semejanza con AB es r, despreciando el resto del segmento. La media total del segmento AB es la suma de la medida de todos los subsegmentos iguales: m( AB) = ∑ m( s k ) = N .m( s1 )
k =1 N

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