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Tareas de Matemáticas. Logaritmos (Guía Resuelta). (1) Comprueba sin calculadora que: a)

log3 27 = 3 logb a = c ⇒ bc = a

Se tiene que cualquier logaritmo se guía por la denición formal de éste que es:

Entonces se debe cumplir que: Lo que efectivamente se cumple ya que: Por lo que queda demostrado que:

33 = 27 3 · 3 · 3 = 33 = 27 log3 27 = 3

b)

log7 7 = 1 n1 = n, ∀n ∈ R 71 = 7Por propiedad de las potencias se tiene que: Por lo que se demuestra que:

Lo que coincide con la denición de logaritmo aplicada al ejercicio:
log7 7 = 1 ⇒ 71 = 7
c)

Se tiene que, por la denición de logaritmo: Pero si observamos bien: Sabemos también que: Por lo que se demuestra que:
d)

log√2 16 = 8

√

2 = 16
1

8

√

2 = 22

8

8

= 2 2 = 24

8

24 = 2 · 2 · 2· 2 = 16 24 = 16 ⇒ log√2 16 = 8

log5 (627)4 = log5 (625)4 = 4 · log5 625 = 4 · log5 54 = 4 · 4 · log5 5 = 16 · 1 = 16

Por propiedades:

(2) Usando la denición de logaritmo, obtén: a)
1 log 2 8

log 1 8 = x ⇒ 2 2−1
x

1 2 = 23

x

=8

2−x = 23 ⇒ −x = 3 ⇒ x = 3
1 ∴ log 2 8 = 3

b)

log 0, 01 log 0, 01 = x ⇒ log10 0, 01 = x ⇒ 10x = 0, 01 10x = 10−2 ⇒ x = −2

1

c)log7 77

log7 77 = x ⇒ 7x = 77 ⇒ x = 7

d)

1 log 2 8

log8

1 1 = x ⇒ 8x = 2 2 1 3

(23 )x = 2−1 ⇒ 3x = −1 ⇒ x = −
e)

log10 100

log10 100 = x ⇒ 10x = 100 ⇒ 10x = 102 ⇒ x = 2

f)

log7 1

log7 1 = x ⇒ 7x = 1 ⇒ 7x = 70 ⇒x=0

g)

log3

1 9

log3

1 1 = x ⇒ 3x = 9 9

⇒ 3x = 3−2 ⇒ x = −2
h)

log4 16

log4 16 = x ⇒ 4x = 16 ⇒ 4x = 42 ⇒ x = 2

i)

log2

31 4

log2 ⇒2 =
x

3

1 = x ⇒ 2x = 4
1

3

1 4
2

1 4

1 3

⇒ 2x = (2−2 ) 3 ⇒ 2x = 2− 3 ⇒x=− 2 3

j)

log6 65

log6 65 = x ⇒ 6x = 65 ⇒ x = 5

k)

√ log5 25 5

√ 1 5 log5 25 5 = x ⇒ log5 (52 · 5 2 ) = x ⇒ log5 5 2 = x ⇒ 5x = 5 2 ⇒ x =
5

5 2

l)

log4

√

2 log4

√

2 = x ⇒ 4x = ⇒ 2x =

√

2 ⇒ 22

x

= 22

1

1 1 ⇒x= 2 4

m)

log7

√ 349 log7

√ 3

49 = x ⇒ 7x =

√ 3

49 ⇒ 7x = 49 3 ⇒ 7x = (72 ) 3

1

1

2

⇒ 7x = 7 3 ⇒ x =
n) ñ)

2

2 3

Es el mismo problema l)
log 1 27 3 log 1 27 = x ⇒ 3 1 3
x

= 27 ⇒ (3−1 )x = 33

⇒ −x = 3 ⇒ x = −3
o)

Es el mismo problema a)
log4 N = 3, ¾cuánto resulta log4

√ 3

(3) Si

Se sabe que por denición: entonces:
√ 3

N ? N3 log4 N = 3 ⇒ 43 = N 43 =log4 (43 )3 √ 3 4 46

N log4 3 N

= log4
N =3

= log4 4−5 = −5 · log4 4 = −5

(4) Exprese en su forma exponencial:

log2 32 = 5, R: 25 = 32 b) log3 9 = 2, R: 32 = 9 1 1 c) log3 81 = −4, R: 3−4 = 81 √ √ 1 d) log7 7 = 1 , R: 7 2 = 7 2
a) (5) Exprese en su forma logarítmica: a) c) d)

43 = 64, R: log4 64 = 3 b) 10−2 = 0, 01, R: log10 0, 01 = −2
1 16− 4 = 8 , R: log16
3 2 3

1 8

=−3 4

9 = 27, R: log9 27 = 3 2 (6) log2 10 se encuentra entre los números enteros consecutivos: R: Entre el 3 y el 4, ya que como 23 < 10 < 24 , aplicando logaritmo en base 2: log2 23 < log2 10 < log2 24 3 < log2 10 < 4
(7) R:

log10 101 se encuentra entre los números enteros consecutivos:

Entre el 2 y el 3, ya que como 102 < 101 < 103 , aplicando logaritmo decimal (en base 10):
log10102 < log10 101 < log10 103 2 < log10 101 < 3

(8) Resuelve para obtener el valor de  x a)log7 x

=2 log7 x = 2 ⇒ 72 = x x = 49

b)

3 log4 x = − 2

log4 x = − x= 1 4
3 2

3 3 ⇒ 4− 2 = x 2 √ 1 1 1 =√ =√ = 3 8 64 4

3

c)

logx 7 = − 1 2 logx 7 = −

1 1 ⇒ x− 2 = 7 2

1 =7 x 1 1 = 49 ⇒ x = x 49
d)

log8 64 = x

log8 64 = x ⇒ 8x = 64 ⇒ 8x = 82 ⇒ x = 2

e)

log8 1024 =x + 3

log8 1024 = x + 3 ⇒ 8(x+3) = 1024 ⇒ 23
(x+3)

= 210 ⇒ 23x+9 = 210

⇒ 3x + 9 = 10 ⇒ 3x = 1 1 ⇒x= 3
f)

log8 (3x + 1) = 2

log8 (3x + 1) = 2 ⇒ 82 = 3x + 1 ⇒ 64 = 3x + 1 ⇒ 3x = 63 ⇒ x = 21

g)

log√2 x = 2 log√2 x = 2 ⇒

√

2

2

=x

⇒x=2 1 √ 2 2

h)

logx

= −3 logx 1 1 √ = −3 ⇒ x−3 = √ 2 2 2 2 √ 1 1 ⇒ 3 = √ ⇒ x3 = 2 2 x 2 2 √ √ ⇒ x = 8 8 = 16 2

(9)...