Fuerte

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL C. DEL URUGUAY

ANÁLISIS MATEMÁTICO II
INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y CIVIL

LÍMITE Y CONTINUIDAD
La extensión del concepto de límite para funciones definidas en un subconjunto abierto

U   n con valores vectoriales en  m surge naturalmente a partir de lo ya estudiado para
funciones escalares de una variable independiente. Recordemosprimero la definición apropiada para funciones escalares. Sea x0 un punto del intervalo abierto (a, b) suponiendo que f
está definida sobre (a, b) excepto posiblemente en el punto x0 . Entonces lím f ( x)  l si para
x x0

cada   0 existe un   0 (que depende de  ) tal que f ( x )  l   siempre que x  (a, b) y
0  x  x0   . Por lo tanto no importa que tan pequeño sea escogido elintervalo J alrededor

de l , siempre puede escogerse un intervalo correspondiente I alrededor de x0 , tal que si x  I
y x  x0 entonces f ( x )  J . Expresado de otra forma puede decirse que los valores de

f ( x ) se aproximan al número l tanto como se desee siempre que los números x sean suficientemente cercanos a x0 .
Utilizando la métrica definida en  , decimos que lím f ( x)  l sipara cada   0 existe un
x x0

  0 (que depende de  ) tal que d ( f ( x), l )   siempre que x  (a, b) y 0  d ( x, x0 )   .
Para extender estas ideas a las funciones vectoriales f ( X ) definidas en un abierto U   n
con valores vectoriales en  m , solamente es necesario considerar la métrica correspondiente


en cada caso y reemplazar x  x0 y f ( x )  l por X  X 0 y f ( X ) l . La definición entonces, se extiende palabra a palabra.
Definición: Sea f : U   n   m una función definida en un subconjunto abierto U de  n ,



sea X 0 un punto de acumulación de U y sea l un vector de  m , entonces lím f ( X )  l , si
X X 0

f
U  Rn

Rm

f ( X )

L
X
X0 

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

para cada   0 existe un  ( )  0 tal que f ( X )  l   siempre que X  U y
0  X  X0   .

La definición anterior puede ser formulada en términos de entornos de la siguiente manera:
Sea f : U   n   m una función definida en un subconjunto abierto U de  n , sea X 0 un



punto de acumulación de U y sea l un vector de m , entonces lím f ( X )  l , si para cada
X X 0



  0 existe un  ( )  0 tal que f ( X )  E (l ,  ) siempre que X U  B *( X 0 ,  ) .

La siguiente propiedad, relaciona los límites de funciones con los límites de sucesiones convergentes.
Definición: Sea f : U   n   m una función definida en un subconjunto abierto U de  n ,



sea X 0 un punto de acumulación de U ysea l un vector de  m , entonces lím f ( X )  l , si
X X 0



y sólo si f ( X n )  l , para toda sucesión  X n   U , X n  X 0 que sea convergente hacia





X0 .

Reducción a campos escalares
Sea f : U   n   m una función definida en un subconjunto abierto U de  n , sea X 0 un



punto de acumulación de U y sea l   l1 , l2 ,..., lm  un vector de  m ,entonces lím f ( X )  l
X X 0

sí y sólo sí lím f i ( X )  li , i  1, 2,..., m para cada una de las funciones coordenadas
X X 0


f1 , f 2 ,..., f m de f .

La demostración de esta propiedad se deja como ejercicio.

Límite de un campo escalar
Si f : U   n   es una función definida en el conjunto abierto U de  n y X 0 es un punto
de U o bien de su frontera, nos interesa ahoraestudiar el comportamiento de los valores de f
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para los valores de X que estén cerca de X 0 . No queremos estudiar lo que pasa con f en X 0 ,
pues estamos aceptando que f puede incluso no estar definida en X 0 (si X 0 es un punto
frontera de U, siendo U...