Fuerza armada

INTRO. GEOMETRÍA ANALÍTICA Este tema constituye una introducción a la geometría analítica del plano. Se definirán las coordenadas de un punto del plano respecto a un sistema de referencia cualquiera, como generalización de lo ya visto sobre coordenadas cartesianas. Se estudiará la ecuación de una recta cualquiera y se analizarán las posiciones de rectas en virtud de su ecuación. Se terminaráhaciendo un estudio sobre medidas de ángulos, distancias y áreas de figuras elementales. Los primeros métodos de la geometría analítica se deben a Menaecmo (aprox. 350 a.C.), quien llega a plantearse problemas de intersección de superficies, aplicando técnicas que, si bien no incluyen todavía las coordenadas, las llevan ocultas en su tratamiento conceptual. Algo parecido ocurre con Apolonio de Perga(250 a.C.−190 a.C. aprox.), el cual demostró diversos resultados relacionados con rectas y circunferencias empleando técnicas similares a las de Menaecmo. El matemático parisino Nicole Oresme (1321−1382), obispo de Lisieux, hizo algunos trabajos haciendo uso de la longitud y la latitud, equivalentes a las actuales abscisa y ordenada.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; La geometría analíticapropiamente dicha comienza con los matemáticos René Descartes (1596−1650) y Pierre de Fermat (1601−1665), quienes en sus trabajos llegan a considerar sistemas de coordenadas, aunque sólo admitían coordenadas positivas. El principal logro de la misma es la transformación mutua entre enunciados de tipo geométrico y enunciados de tipo algebraico. Fermat, en su Introduction to Loci , estudia ya algunasecuaciones de primero y segundo grado, con lo que consigue clasificar las rectas y algunas de las cónicas, siempre con la limitación que le imponía el no admitir coordenadas negativas. A principios del siglo XIX, con la construcción de la geometría proyectiva, se dio un fuerte avance a la geometría analítica. SISTEMAS DE REF. COORDENADAS Un sistema de referencia en el plano es un par formado por unpunto, llamado origen, y una base de vectores, R = {O, 1, 2}. Si la base es ortonormal, el sistema de referencia se dice ortonormal .

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Dado un sistema de referencia R = {O, 1, 2} y un punto P del plano, las coordenadas de P respecto a R son las coordenadas del vector respecto a la base { 1, 2}

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Si =x 11 + y 2, las coordenadas de P son x e y y se escribe P= ( x, y ) ó P( x, y ). Vector que une dos puntos Dados los puntos P(x0, y0) y Q(x1, y1), el vector que los une viene dado por la expresión = ( x1 −x0 ) 1 + ( y1 −y0 ) 2. Demostración:

Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Por definición de coordenadas se tiene que

= x0 1 + y0 2

= x1 1 + y1 2 Como + = , despejando:

= − = ( x1 1 + y1 2 ) − ( x0 1 + y0 2)= = ( x1 −x0 ) 1 + ( y1 −y0 ) 2Ejercicios de aplicación

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Dado el sistema de referencia R = {O, 1, 2}, hallar las coordenadas de O respecto de R. Resolución:

= = 0· 1 + 0· 2 El punto es O(0,0). Sean los puntos P(3, −2) y Q(4, 1). Hallar las coordenadas del vector . Resolución:

= (4 − 3) 1 + [1 − (−2)] 2 = 1· 1+3 2. Las coordenadasson 1 y 3, (1, 3). Hallar las coordenadas de un punto P tal que, al unirlo con Q(4, 8), resulta el vector = −2 1+6 2. Resolución: Sean (x,y) las coordenadas de P.

=(4−x) 1+(8−y) 2 = −2 1+6 2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Sistema de referencia estándar del plano 3

Name=3; HotwordStyle=BookDefault; El sistema de referencia del planomás utilizado es {O, 1, 2}, donde: · O es el origen de coordenadas, después de fijar los ejes de abscisas y ordenadas. · 1 es el vector que tiene por origen el punto (0,0) y por extremo el (1,0). · 2 es el vector que tiene por origen el punto (0,0) y por extremo el (0,1). Además es un sistema de referencia ortonormal:

Vectores en el plano

Name=4; HotwordStyle=BookDefault; _ Todo punto P del...