Fuerza Centripetra

CAPITULO VI FUERZAS CENTRALES

"¿Qué es lo que hace que los planetas giren en torno al Sol?

En los tiempos de Kepler algunas personas contestaban esta pregunta diciendo que había ángeles detrás de ellos, agitando sus alas y empujando a los planetas por sus órbitas. Como verán, la respuesta no está muy lejos de la verdad. La única diferencia es que los ángeles miran en otra dirección y susalas empujan radialmente hacia adentro."

Richard P. Feynman The Character of a Physical Law (1965)

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INTRODUCCION A LA MECANCIA DE LA PARTICULA

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FUERZAS CENTRALES
VI-1. Generalidades.
Una fuerza central es aquella que deriva de una función potencial con simetría esférica U = U (r ) . Como veremos más adelante, el sistema formado por dos partículas queinteractúan entre sí a través de una fuerza cuya recta de acción pasa por la ubicación de las mismas ( y cuyo módulo depende únicamente de la distancia entre ellas) se puede reducir al problema de una partícula "efectiva" sometida a una fuerza central. El problema de fuerzas centrales adquiere así una gran relevancia, ya que en muchos casos la interacción entre dos cuerpos es del tipo mencionado. Porejemplo, la interacción gravitatoria que rige el comportamiento de los cuerpos celestes o la interacción Coulomiana entre un par de cargas puntuales se ajustan a este esquema.

VI-1.a. Cantidad de Movimiento Angular.
Una partícula que se mueve con velocidad v y cuyo vector posición es r (respecto de un origen de coordenadas O) tiene una cierta cantidad de movimiento angular L (respecto de eseorigen) definida por

r r r r r L ≡ r × p = r × mv

(6-1)

Para una partícula que está sometida a una fuerza central, este vector es constante en el tiempo. En efecto si

r ∂U r F = −∇U (r ) = − er ∂r
entonces la derivada temporal de L es nula

r r r d L dr r r d p r r r r = × p+r× = v × mv + r × F = 0 dt dt dt

debido a que la fuerza central es radial. Tenemos por lo tanto laConservación de la Cantidad de Movimiento Angular: En un sistema en el cual sólo actúan fuerzas centrales, la cantidad de movimiento angular L es una constante del movimiento.

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INTRODUCCION A LA MECANCIA DE LA PARTICULA

Esta constante es vectorial. Esto implica que el movimiento permanece en el plano determinado por los vectores r r r y v iniciales. (Un cambio en el plano del movimientoimplicaría un cambio en la dirección de visto no es posible).
r FIG. 1: Vector L .

r L , lo cual como hemos

VI-1.b. Ecuaciones de Movimiento.
Para describir este movimiento usaremos coordenadas polares que son las más apropiadas, ya que:

Fr = f (r ) = −
Fθ = −

∂U ∂r

1∂v =0 r ∂θ

Las ecuaciones del movimiento para una partícula de masa fuerza central son por lo tanto,

m bajo laacción de una
(6-2) (6-3)

& m && − rθ 2 = f (r ) r & && m 2rθ + rθ& = 0

(

(

)

)

Multiplicando la última ecuación por

r la podemos transformar en

d & mr 2θ = 0 . dt
Lo cual no es más que la expresión escalar de la constancia de la cantidad de movimiento angular en este tipo de movimiento. En efecto, el módulo de L es

(

)

r

& l = mrv ⊥ = m r 2 θ

(6-4)FUERZAS CENTRALES

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donde hemos llamado v⊥ a la componente de la velocidad perpendicular a e r , es decir

r

& , v ⊥ = rθ . La ley de conservación (6-4) es esencial en todo problema de fuerzas centrales.
Ejercicio VI-1: Segunda Ley de Kepler1. Mostrar que el área barrida por el vector posición

r r r en un intervalo diferencial d r es

dA es constante. dt

1 & d A = r 2θ d t . Useentonces la ley de conservación de l para mostrar que la velocidad areolar 2

FIG. 2: Área barrida por el radio vector en dt.

& Volviendo a las ecuaciones del movimiento y usando la expresión de l para eliminar θ de la primera ecuación obtenemos la ecuación radial: m&& − r l2 = f (r ) mr 3
(6-5)

1

Johannes Kepler formuló esta ley en 1619, basándose en observaciones detalladas del...